30 60 90

30°, 60°, 90° – są to miary trójkąta. Na pierwszy rzut oka widać, że jest to trójkąt prostokątny, ponieważ ma jeden kąt 90° i dwa kąty ostre. Twierdzenie Pitagorasa brzmi: . Wszystkie niewiadome to długości boków. oraz to przyprostokątne, a to przeciwprostokątna. Te twierdzenie dotyczy tylko trójkątów prostokątnych! Dzięki temu twierdzeniu można łatwo obliczyć długość trzeciego boku znając pozostałe dwie długości. Oto przykład:
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długości 3m i 4m i przeciwprostokątnej o długości x m. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. Rozpoczynamy od zapisania wzoru:

Następnie podstawiamy dane i rozwiązujemy tak jak każde równanie:





Odpowiedź: Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 5 metrów.

Wyróżniamy szczególne przypadki trójkątów, w których wykorzystujemy twierdzenie Pitagorasa. Są to trójkąty o kątach 90°, 45°, 45° oraz 90°, 60°, 30°.

Zacznijmy od trójkąta o kątach 90°, 45° i 45°. Jego cechą charakterystyczną jest to, że dwie przyprostokątne są ramionami trójkąta tej samej długości, a przeciwprostokątna ma inną długość. Wnioskiem jest fakt, że są to trójkąty równoramienne. Ramiona zaznaczamy jako , a podstawę jako . Dzięki tej właściwości znając długość jednego boku łatwo można obliczyć długość pozostałych boków. Oto przykład:
Dany jest trójkąt o kątach 90°, 45° i 45°. Bok przy kątach 45° i 45­­° ma długość . Oblicz długości wszystkich boków.
Przeciwprostokątna, którą oznaczamy jako równa się , zatem obliczamy równaniem długości przyprostokątnych oznaczonych jako :


Odpowiedź: Długości boków tego trójkąta wynoszą , oraz .

Rozważmy teraz szczególny przypadek trójkąta o kątach 90°, 60°, 30°. Ten trójkąt również ma specjalne oznaczenia długości boków, dzięki czemu można obliczyć długości wszystkich boków trójkąta znając tylko jedną miarę. Bok przy kątach 90° oraz 60° oznaczamy jako , przy kątach 90° oraz 30° jako , a przy kątach 60° oraz 30° – jako . Jak większość osób wie, niewiadome (w tym przypadku oznaczone jako ) można oznaczyć dowolną literą. Oto przykład:
Dany jest trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°. Bok przy kątach 90° i 30° ma długość mm. Oblicz i podaj długości wszystkich boków tego trójkąta.
to długość boku przy kątach 90° i 30°. Ten bok oznaczamy jako , zatem zapiszmy:


Teraz mamy już długości dwóch boków. Wystarczy obliczyć trzeci bok:


Odpowiedź: Długości boków tego trójkąta to: , oraz .

Jeśli do boku przy kątach 90° i 30° dorysujemy drugi taki sam trójkąt, otrzymamy trójkąt równoboczny. Aby obliczyć wysokość w tym powstałym trójkącie równobocznym mając tylko długość boku, należy skorzystać ze wzoru: . Oto przykład:
Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 6cm. Oblicz wysokość tego trójkąta.
Zapisujemy wzór, po czym podstawiamy do niego dane i obliczamy:



Odpowiedź: Wysokość tego trójkąta wynosi cm.