Postać ogólna funkcji kwadratowej

2. Postać ogólna funkcji kwadratowej
a. Przejście z postaci kanonicznej do postaci ogólnej
b. Przejście z postaci ogólnej do kanonicznej (wzory na deltę i współrzędne wierzchołka)
c. Odczytywanie własności funkcji ze wzoru w postaci ogólnej

Rysunek obok przedstawia wykres funkcji opisanej wzorem

.
Wiemy, że to wyrażenie możemy przekształcić w następujący sposób:

Jak widać, zarówno jak
i opisują tę samą funkcję.
A więc czym się różnią?
W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że
to wzór funkcji w postaci kanonicznej. Natomiast nazwiemy wzorem funkcji w postaci ogólnej.

Postać ogólna funkcji kwadratowej, to ta wyrażona wzorem , gdzie. Zwróćmy uwagę na to, że współczynnik przy najwyższej potędze pozostaje bez zmian, gdy przechodzimy z postaci kanonicznej do ogólnej (tak, jak przed chwilą).

Ćwiczenie 1:
Przekształć wzór funkcji danej w postaci kanonicznej na postać ogólną i wypisz wartości współczynników :

a.
b.
c.
d.
e.
f.

Odpowiedzi:
a.
b.
c.
d.
e.
f. (zwróć uwagę, że w pewnych przypadkach postać ogólna jest taka sama, jak kanoniczna – dokładniej wtedy, gdy w postaci kanonicznej )

Potrafimy już przejść z postaci kanonicznej do ogólnej. Zastanówmy się teraz, jak przejść z postaci ogólnej do kanonicznej. Możemy to zrobić, używając wzorów oraz .

Ćwiczenie 2* (ciekawostka dla chętnych):
Udowodnij równości oraz .
Rozwiązanie:
Chcemy, aby zarówno wzór postaci ogólnej jak i postaci kanonicznej opisywały tę samą funkcję. Zapiszmy więc równanie:

Potraktujemy prawą stronę równania tak samo, jak w ćwiczeniu 1 – czyli zamienimy ją na postać ogólną:


Od obydwu stron równania odejmiemy powtarzający się wyraz:


Aby prawa strona była równa lewej muszą zostać spełnione 2 warunki: zaznaczone na fioletowo wyrazy (współczynniki przy) muszą być sobie równe. Tak samo te zaznaczone na zielono (tworzące wyraz wolny). Zapiszemy więc:
Pierwsze równanie dzielimy obustronnie przez
Podstawimy za do drugiego równania
Podnosimy do kwadratu
się skraca
przenosimy na odpowiednie strony
sprowadzamy wyrażenie po prawej do wspólnego mianownika
co kończy nasz dowód
Jak widać, przejście z postaci ogólnej do kwadratowej również nie powinno nam sprawić problemu.
W tym momencie powinniśmy wspomnieć o jeszcze jednym wzorze. Być może zdarzyło ci się usłyszeć od starszych znajomych (a już szczególnie maturzystów) mantrę „Jak nie wiesz co robić, licz deltę”. A więc jak się liczy ten wyróżnik trójmianu kwadratowego, czyli deltę? Korzystając z wzoru. Przećwiczmy to szybko na przykładzie:

Ćwiczenie 3:
Oblicz wyróżnik trójmianu.
Rozwiązanie:
Na początku wypiszemy wartości poszczególnych współczynników:
Podstawiamy do wzoru:

Odpowiedź: Wartość wyróżnika trójmianu wynosi

Na ten moment delta będzie nam służyć jako wartość pomocnicza, której będziemy używać przy obliczaniu wartości funkcji w jej wierzchołku. Zauważmy, że możemy zapisać jako .

Ćwiczenie 4:
Znajdź postać kanoniczną funkcji danych wzorami w postaci ogólnej:

Rozwiązanie przykładu a i odpowiedzi:
W ćwiczeniu 3 wypisaliśmy już wartości współczynników oraz wyliczyliśmy już wartość wyróżnika (delty).
Mamy więci wiemy, że . Teraz podstawiamy do wzorów oraz :


Podstawiamy teraz wartości i do wzoru w postaci kanonicznej, czyli. Pamiętaj, że pozostaje bez zmian. Stąd:

(zwróć uwagę, na wartości współczynników w tym „złośliwym” przykładzie. Zawsze to współczynnik przy,to współczynnik przy, ato wyraz wolny – „samotna” liczba)

(gdy, postać kanoniczna i ogólna są takie same)


Na koniec tego rozdziału, wspomnijmy jeszcze o tym, jakie własności wykresu funkcji możemy odczytać ze wzoru w postaci ogólnej. Jak – mam nadzieję – pamiętasz, wartość współczynnikainformuje nas o skierowaniu ramion paraboli (gdy, parabola jest kierowana ramionami do góry, dla– do dołu).
Być może pamiętasz również, że wyraz wolny we wzorze informował nas o punkcie przecięcia wykresu funkcji z osią OY. Dla funkcji kwadratowej będzie tak samo. Zauważmy, że wykres funkcji przecina oś OY zawsze dla argumentu 0. Podstawmy więc do wzoru postaci ogólnej. Widzimy, żefaktycznie jest wartością funkcji dla, czyli wykres przecina oś OY w punkcie o współrzędnych. Zobaczmy to na przykładach poniżej:

Mimo, że wzory opisują różne funkcje, jeśli wyraz wolny pozostaje taki sam, to punkt przecięcia z osią OY – również.
Ćwiczenie 5:
Określ znak współczynnikówdla podanych poniżej wykresów funkcji:
a.b.c.
Rozwiązanie:
(ramiona paraboli skierowane w dół),(wykres przecina oś OY powyżej osi OX)
(ramiona paraboli skierowane w górę),(wykres przecina oś OY poniżej osi OX)
(ramiona paraboli skierowane w dół),(wykres przecina oś OY w punkcie)
Trochę bardziej skomplikowaną kwestią jest określenie znaku współczynnika. Zwróćmy jednak uwagę, że znamy wzór, co możemy przekształcić do postaci. Wartośćmożemy określić od razu patrząc na wykres – wiemy, że to pierwsza współrzędna wierzchołka funkcji (jeśli masz co do tego wątpliwości, wróć do tematu „Postać kanoniczna funkcji kwadratowej”). Stąd też:
Jeśliito, ponieważ
Jeśliito, ponieważ
Jeśliito, ponieważ
Jeśliito, ponieważ
Ćwiczenie 6:
Określ znak współczynnikówdla wykresów funkcji podanych w ćwiczeniu 5.
Rozwiązanie:
,(wierzchołek znajduje się po prawej stronie osi OY), więc
,(wierzchołek znajduje się po lewej stronie osi OY), więc
,(wierzchołek znajduje się po lewej stronie osi OY), więc