Postać iloczynowa

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej i postać iloczynowa
a. Określanie ilości miejsc zerowych ze wzoru na deltę
b. Przejście z postaci ogólnej do iloczynowej (wzory na miejsca zerowe)
c. Przejście z postaci iloczynowej do ogólnej
d. Wprowadzenie do wzorów Viete’a

Jak, mam nadzieję, pamiętasz z poprzednich działów, miejsca zerowe funkcji to argumenty, dla których jej wartość wynosi 0 – czyli pierwsze współrzędne punktów, w których wykres funkcji przecina się z osią OX (poziomą).

Ćwiczenie 1:
Podaj, ile i jakie miejsca zerowe mają przedstawione na rysunkach funkcje:
a.b.
c.d.
e. f.

Odpowiedzi:
a. 2 miejsca zerowe:
b. 1 miejsce zerowe:
c. Nie ma miejsc zerowych
d. 2 miejsca zerowe:
e. 1 miejsce zerowe:
f. Nie ma miejsc zerowych

Po rozwiązaniu tego ćwiczenia możemy zauważyć, że istnieją 3 możliwości dotyczące ilości miejsc zerowych funkcji kwadratowej – może ona mieć albo dwa miejsca zerowe, albo jedno miejsce zerowe, albo może nie mieć ich w ogóle.
Co ciekawe, żeby określić ich ilość, nie musimy ani dokładnie ich obliczać, ani rysować wykresu.

Ćwiczenie 2:
Dla każdego przykładu z ćwiczenia 1 oblicz wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego (delty) i określ jej znak (czy jest dodatnia, ujemna, czy równa 0). Czy przychodzi ci do głowy jakiś pomysł, od czego może zależeć ilość miejsc zerowych?
Odpowiedzi:

a.
b.
c.
d.
e.
f.

Jak już być może zauważyłeś, ilość miejsc zerowych funkcji zależy od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego.
Kiedy , funkcja ma 2 miejsca zerowe
Kiedy , funkcja ma 1 miejsce zerowe
Kiedy , funkcja nie ma miejsc zerowych
Jesteśmy również w stanie policzyć dokładną wartość miejsc zerowych korzystając z wzorów:
oraz . Zwróć uwagę, że różnią się one jedynie znakiem przed–dlatego, gdy jest tylko jedno miejsce zerowe (czyli a więc ) obliczamy je ze wzoru (zwróć uwagę, że już wcześniej spotkaliśmy się z tym wzorem – gdzie?).

Ćwiczenie 3*(ciekawostka dla chętnych):
Udowodnij wzory na miejsca zerowe funkcji kwadratowejoraz.
Rozwiązanie:
Chcemy znaleźć takie wartości, dla których. Wiemy, że tę funkcję możemy również przedstawić w postaci, gdzie i. Dlatego będziemy rozwiązywać równanie:
przenoszę
dzielę przez

Zwróćmy uwagę, że lewa strona na pewno jest nieujemna, bo cokolwiek podniesiemy do drugiej (parzystej) potęgi, da nam liczbę większą lub równą 0. Stąd równanie będzie miało rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy . Dodajmy więc w tym miejscu następujące założenie:

Zauważmy, że mianownik musi być dodatni. Dlatego po obustronnym pomnożeniu razy otrzymujemy:
czyli faktycznie, funkcja będzie mieć miejsca zerowe tylko, gdy delta jest nieujemna
Wróćmy więc do naszego podstawowego równania:
założyliśmy już, że , więc bez obaw możemy spierwiastkować obydwie strony
przenosimy na prawą stronę
podstawiamy i . Po uproszczeniu:
skorzystamy z własności pierwiastkowania
więc
skąd otrzymujemy 2 rozwiązania (o ile):
co kończy dowód. Jeśli, to
Udało nam się udowodnić, że wzory oraz rzeczywiście opisują miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Rozwiążmy więc jeszcze jedno, krótsze i bardziej praktyczne ćwiczenie.

Ćwiczenie 4:
Określ ile miejsc zerowych ma funkcja dana wzorem i znajdź ich wartości.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od wypisania wartości współczynników:. Teraz obliczymy deltę:

∆=49>0, więc funkcja będzie mieć dwa miejsca zerowe. Obliczymy od razu:

Podstawiamy teraz do wzorów na miejsca zerowe:


Odpowiedź: Funkcja ma 2 miejsca zerowe:oraz.
W tym momencie powinniśmy wspomnieć o ostatniej istotnej postaci funkcji kwadratowej. Kiedy funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe, możemy zapisać jej wzór jako. Taki zapis nazywamy postacią iloczynową funkcji kwadratowej.
Z definicji miejsc zerowych pamiętamy, że to są takie, dla których. Jeśli podstawimy za otrzymamy:
jest dla nas jasne, że
bo cokolwiek pomnożymy razy 0, zawsze otrzymamy 0
Tak samo dla :

Stąd widzimy, że ten wzór… po prostu ma sens. Przejdźmy więc do ćwiczeń.

Ćwiczenie 5:
Znajdź miejsca zerowe funkcji w postaci ogólnej i – o ile to możliwe – zapisz wzory tych funkcji w postaci iloczynowej.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Rozwiązanie przykładu a. i odpowiedzi:
a. W ćwiczeniu 4 obliczyliśmy już, że ta funkcja ma 2 miejsca zerowe:oraz. Teraz wystarczy tylko podstawić je do wzoru (pamiętamy, że pozostaje bez zmian).
.
b. Miejsca zerowe to oraz ;
c. Miejsca zerowe to oraz ;
d. Funkcja ma jedno miejsce zerowe ; (zwróć uwagę, że gdy funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe, jej postać iloczynowa jest taka sama, jak kanoniczna)
e. Miejsca zerowe to oraz ;
f. Funkcja nie ma miejsc zerowych ani postaci iloczynowej

Ćwiczenie 6:
Zamień wzór funkcji w postaci iloczynowej na postać ogólną i wypisz wartości współczynników :
a.
b.
c.
Rozwiązanie przykładu a. i odpowiedzi:
a. Żeby doprowadzić funkcję do postaci ogólnej musimy – najprościej mówiąc – wymnożyć wszystko, co się da. Zaczniemy od wymnożenia nawiasów:

A więc to wzór w postaci ogólnej.
b.
c. (mam nadzieję, że skorzystałeś tu z wzoru skróconego mnożenia…)

Ostatnim faktem, o którym wspomnimy w tym rozdziale, jest ciekawa własność wynikająca z symetryczności paraboli. Dość potocznie mówiąc, wykres po jednej stronie osi symetrii () jest taki sam, jak po drugiej, tylko w odbiciu lustrzanym. Wyobraźmy sobie, że narysowaliśmy farbką na kartce jedno ramię paraboli z zaznaczonym miejscem zerowym – jeśli zegniemy kartkę wzdłuż osi symetrii, powstanie nam pełen wykres wraz z zaznaczonym drugim miejscem zerowym (możesz nie wierzyć mi na słowo i sprawdzić to własnoręcznie :)).
Stąd wynika, że oś symetrii znajduje się idealnie pośrodku pomiędzy obydwoma miejscami zerowymi – jak widać na rysunku po prawej.
Ta informacja może nam się przydać w sytuacji, kiedy chcemy szybko znaleźć wierzchołek funkcji danej wzorem w postaci iloczynowej – tak, jak w ćwiczeniu 7.

Ćwiczenie 7:
Podaj równanie osi symetrii paraboli o wzorze
Rozwiązanie:
Ze wzoru szybko odczytujemy, że i. Wyobrażając (lub rysując) sobie te liczby na osi liczbowej, od razu możemy stwierdzić, że pośrodku pomiędzy a jest , a więc osią symetrii tej paraboli jest.
Aby ułatwić sobie przyszłe obliczenia wprowadzimy wzór . Przećwiczmy używanie go na kilku przykładach:

Ćwiczenie 8:
a)Podaj równanie osi symetrii paraboli o wzorze
b)Podaj równanie osi symetrii paraboli o wzorze
c)Parabola ma jedno miejsce zerowe i oś symetrii o równaniu. Znajdź drugie miejsce zerowe.
d)Parabola ma jedno miejsce zerowe i oś symetrii o równaniu. Znajdź drugie miejsce zerowe.
Odpowiedzi:

a)
b)
c)
d)