Wzory Viete’a

Dodatek dla rozszerzenia: wzory Viete’a

Przy postaci iloczynowej warto wspomnieć o dwóch ciekawych wzorach zwanych wzorami Viete’a. Są to:
oraz , przy założeniu, że (które gwarantuje nam, że miejsca zerowe do których się odwołujemy, rzeczywiście istnieją).

Ćwiczenie 7:
Udowodnij równości oraz .
Rozwiązanie:

Jeżeli udowodniliśmy te równości, przejdźmy do bardziej praktycznych przykładów.

Ćwiczenie 7:
Oblicz wartości podanych wyrażeń:
a. Suma wartości miejsc zerowych funkcji
b. Iloczyn wartości miejsc zerowych funkcji
c. Suma kwadratów wartości miejsc zerowych funkcji
d. Wartość bezwzględna z różnicy wartości miejsc zerowych funkcji
Rozwiązania:
a.
b.
c. Kiedy mamy do czynienia z trochę bardziej skomplikowanym wyrażeniem, musimy przekształcić je tak, aby „zobaczyć” w nim wzory Viete’a. Zacznijmy od tego, że sumę kwadratów możemy zapisać w innej postaci:

Teraz zauważmy, że fioletowe wyrażenie to suma wartości miejsc zerowych, na którą już znamy wzór. Podobnie wyrażenie zaznaczone na zielono – iloczyn miejsc zerowych. W takim razie wystarczy podstawić:

d. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zaczniemy od przekształcenia wyrażenia.
Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc bez obaw możemy ją zapisać w ten sposób:

Kontynuujemy przekształcanie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

Udało nam się doprowadzić wyrażenie po pierwiastkiem do postaci, gdzie możemy swobodnie podstawić wzory:

Wzory Viete’a mają szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu równań kwadratowych z parametrem.