Funkcja kwadratowa

FUNKCJA KWADRATOWA
Na czerwono zaznaczone zostały tematy przeznaczone dla rozszerzenia (wg. wymagań maturalnych dla formuły 2015-2022;)
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Podstawowe informacje o wykresie funkcji kwadratowej
Odczytywanie własności funkcji (skierowanie ramion paraboli, zbiór wartości, wierzchołek, maksymalne przedziały monotoniczności) ze wzoru w postaci kanonicznej
Postać ogólna funkcji kwadratowej
Przejście z postaci kanonicznej do postaci ogólnej
Przejście z postaci ogólnej do kanonicznej (wzory na deltę i współrzędne wierzchołka)
Odczytywanie własności funkcji ze wzoru w postaci ogólnej
Postać iloczynowa i miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Określanie ilości miejsc zerowych ze wzoru na deltę
Przejście z postaci ogólnej do iloczynowej (wzory na miejsca zerowe)
Przejście z postaci iloczynowej do ogólnej
Wprowadzenie do wzorów Viete’a
Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej
Szkicowanie wykresu funkcji danej w postaci ogólnej
Szkicowanie wykresu funkcji danej w postaci kanonicznej i iloczynowej
Wartość najmniejsza i największa w przedziale
Równania i nierówności kwadratowe
Punkty przecięcia wykresów funkcji
Równania kwadratowe
Równania prowadzące do równań kwadratowych
Nierówności kwadratowe
„Sprytne” równania i nierówności
Równania kwadratowe z parametrem
Pewniaki maturalne – poziom podstawowy
Ogólne własności funkcji na podstawie wzoru
„Zgadywanie” wzoru naszkicowanej funkcji
Nierówność kwadratowa
Równania kwadratowe z parametrem
Podsumowanie wiadomości i najważniejsze wzory

1. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
a. Podstawowe informacje o wykresie funkcji kwadratowej
b. Odczytywanie własności funkcji (skierowanie ramion paraboli, zbiór wartości, wierzchołek, maksymalne przedziały monotoniczności) ze wzoru w postaci kanonicznej

2.Postać ogólna funkcji kwadratowej
a. Przejście z postaci kanonicznej do postaci ogólnej
b. Przejście z postaci ogólnej do kanonicznej (wzory na deltę i współrzędne wierzchołka)
c. Odczytywanie własności funkcji ze wzoru w postaci ogólnej

3. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej i postać iloczynowa
a. Określanie ilości miejsc zerowych ze wzoru na deltę
b. Przejście z postaci ogólnej do iloczynowej (wzory na miejsca zerowe)
c. Przejście z postaci iloczynowej do ogólnej
d. Wprowadzenie do wzorówViete’a

4. Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej

Jak – mam nadzieję – pamiętasz z poprzednich rozdziałów, wzory funkcji kwadratowej w określonych postaciach informują nas o różnych własnościach wykresu. Powtórzmy najbardziej istotne informacje dla funkcji w postaci ogólnej:
– gdy , parabola jest kierowana ramionami do góry, dla– do dołu
– wykres przecina oś OY w punkcie o współrzędnych
– parabola ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych, które możemy obliczyć ze wzorów,
– kiedy, funkcja ma 2 miejsca zerowe, kiedy– jedno, kiedy– nie ma miejsc zerowych; miejsca zerowe obliczamy ze wzorów oraz

Ćwiczenie 1:
Dla funkcji danej wzorem:
(1) określ, jak będą skierowane ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji
(2) określ, ile będzie miała miejsc zerowych
po czym zaznacz na układzie współrzędnych:
(3) punkt przecięcia z osią OY
(4) wierzchołek
(5)miejsca zerowe (o ile istnieją)
i połącz te punkty tak, by utworzyły wykres funkcji

Rozwiązanie:
(1), więc parabola będzie skierowana ramionami do góry
(2)
(3)Przecięcie wykresu z osią OY to punkt
(4)Obliczam współrzędne wierzchołka ze wzorów oraz . Czyli wierzchołkiem jest punkt
(5) Z podpunktu b. wiemy, że wykres będzie mieć 2 miejsca zerowe. Obliczamy je ze wzorów:
oraz
(6)Gotowy wykres funkcji widzimy po prawej.

Przeanalizujmy jeszcze raz, co zrobiliśmy w ćwiczeniu 1.
Szkicując wykres funkcji kwadratowej danej w postaci ogólnej zawsze będziemy wykonywać poniższe kroki:
(1) Określamy, jak ustawione są ramiona paraboli
(2) Określamy ilość miejsc zerowych
(3) Obliczamy punkt przecięcia wykresu z osią OY i zaznaczamy go na układzie współrzędnych
(4) Obliczamy współrzędne wierzchołka i zaznaczamy go na układzie współrzędnych
(5) Obliczamy wartości miejsc zerowych (o ile istnieją) i zaznaczamy je na układzie współrzędnych
(6) Łączymy zaznaczone punkty

Ćwiczenie 2:
Naszkicuj wykres funkcji:



Odpowiedzi:
a.b.
c.

Czasami możemy trafić na zadanie, w którym mamy naszkicować funkcję kwadratową korzystając ze wzoru w postaci kanonicznej. Możliwe, że pierwszym sposobem, który przyszedłby nam do głowy, byłoby przekształcenie wzoru do postaci ogólnej, po czym postępowanie tak, jak w ćwiczeniu 1 i 2. Spróbujmy w ten sposób rozwiązać poniższe ćwiczenie:

Ćwiczenie 3:
Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem, przekształcając go do postaci ogólnej.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od wypisania tego, co wiemy, patrząc na wzór funkcji w postaci kanonicznej .
(1) więc parabola będzie skierowana ramionami w górę
(2) oraz , więc wierzchołek paraboli to punkt o współrzędnych – zaznaczamy go na rysunku
(3) Teraz możemy przejść do przekształcania funkcji do postaci ogólnej:
Wiemy już, że postać ogólna funkcji to .
(4)Stąd, patrząc na wyraz wolny, od razu dowiadujemy się, że wykres przetnie oś OY w punkcie o współrzędnych – zaznaczamy go na rysunku.
Następnym – ostatnim – krokiem do rozwiązania będzie obliczenie wartości miejsc zerowych.
więc
oraz
Po zaznaczeniu miejsc zerowych na rysunku, łączymy punkty i to kończy zadanie. Zapiszmy kroki rozwiązania:
(1) Określamy, jak skierowane są ramiona paraboli
(2) Zapisujemy współrzędne wierzchołka
(3) Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej
(4) Postępujemy wg schematu rysowania wykresu funkcji danej wzorem w postaci ogólnej (pomijając obliczanie współrzędnych wierzchołka – bo już go znamy)
Bez wątpienia powyższe ćwiczenie jest wykonane poprawnie – ale da się je zrobić trochę szybciej. Spróbujmy jeszcze raz!

Ćwiczenie 3’’:
Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem , nie przekształcając go do postaci ogólnej.

Rozwiązanie:
Podobnie, jak w poprzednim przypadku zaczynamy od stwierdzenia, że (1) parabola będzie skierowana ramionami w górę oraz (2) wypisania i zaznaczenia współrzędnych wierzchołka.
(3) Teraz chcielibyśmy znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią OY, czyli wartość funkcji dla argumentu 0. Obliczamy:

Czyli wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o współrzędnych – zaznaczamy go na wykresie.
(4) Jedyne, czego jeszcze nam brakuje, to miejsca zerowe – czyli te punkty, dla których funkcja przyjmie wartość 0.
to jest warunek, aby było miejscem zerowym
podstawiamy wzór funkcji za
przenosimy –1 na prawą stronę
Pierwiastkujemy obydwie strony i rozwiązujemy dwa osobne równania:
lub
lub
lub
Z pierwszego równania otrzymujemy , z drugiego

i zaznaczamy na rysunku.(5)Łączymy wszystkie zaznaczone punkty.

Jak widać, w ćwiczeniu 3 i ćwiczeniu 3’ otrzymaliśmy dokładnie takie same wykresy. Wypiszmy kroki rozwiązania wykonane w ćwiczeniu 3’:
(1) Określamy, jak skierowane są ramiona paraboli
(2) Zapisujemy współrzędne wierzchołka i zaznaczamy go na rysunku
(3) Znajdujemy punkt przecięcia wykresu z osią OY, podstawiając 0 do wzoru funkcji i zaznaczamy go na rysunku
(4) Znajdujemy miejsca zerowe, rozwiązując równanie postaci (gdyby okazało się, że nie ma ono rozwiązań oznacza to, że funkcja nie ma miejsc zerowych) i zaznaczamy je na rysunku
(5) Łączymy zaznaczone punkty
Od ciebie zależy, którego sposobu będziesz używał, ponieważ obydwa są poprawne (również wg schematów oceniania CKE). Przećwiczmy to jeszcze – trzy razy – w ćwiczeniu 4:

Ćwiczenie 4:
Naszkicuj wykresy funkcji:
a)
b)
c)
Odpowiedzi:
a.b.
c.
Zwróć uwagę, że w przykładzie c. jedyne miejsce zerowe jest jednocześnie wierzchołkiem – tak się dzieje zawsze, gdy funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe.

Może się zdarzyć, że wzór funkcji, której wykres mamy naszkicować, zostanie nam podany w postaci iloczynowej. I tu znowu pewnie część z nas postanowiłaby zamienić ją na postać ogólną – a więc spróbujmy tak zrobić w ćwiczeniu 5.

Ćwiczenie 5:
Naszkicuj wykres funkcji, przekształcając wzór do postaci ogólnej.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od wypisania tego, co wiemy, patrząc na wzór funkcji w postaci iloczynowej.
(1) więc ramiona paraboli są skierowane w dół
(2) oraz to miejsca zerowe; zaznaczamy je na wykresie
(3)Teraz możemy przejść do przekształcania funkcji do postaci ogólnej:

Wiemy już, że postać ogólna funkcji to .
(4)Stąd, patrząc na wyraz wolny, od razu dowiadujemy się, że wykres przetnie oś OY w punkcie o współrzędnych
i zaznaczamy go na rysunku.
Ostatnie, co musimy zrobić, to policzenie współrzędnych wierzchołka:

,
Więc parabola ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych . Zaznaczamy go na rysunku i łączymy punkty.
Aby rozwiązać to zadanie, wykonaliśmy kolejno poniższe kroki:
(1)Określamy, jak skierowane są ramiona paraboli
(2)Zapisujemy i zaznaczamy na rysunku miejsca zerowe
(3)Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej
(4)Postępujemy wg schematu rysowania wykresu funkcji danej wzorem w postaci ogólnej (pomijając obliczanie miejsc zerowych – bo je go znamy)
Jednak podobnie, jak w ćwiczeniu 3, użyty przez nas sposób nie był najbardziej optymalny – mimo, że oczywiście poprawny. Spróbujmy jeszcze raz rozwiązać to zadanie, nie przekształcając funkcji do postaci ogólnej.

Ćwiczenie 5’:
Naszkicuj wykres funkcji , nie przekształcając wzoru do postaci ogólnej.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od wypisania tego, co wiemy, patrząc na wzór funkcji w postaci iloczynowej .
(1) więc ramiona paraboli są skierowane w dół
(2) oraz to miejsca zerowe; zaznaczamy je na wykresie
(3)Policzymy punkt przecięcia z osią OY, czyli wartość funkcji dla argumentu 0:

A więc wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o współrzędnych
(4)Przypomnijmy sobie, wprowadzony w rozdziale o miejscach zerowych, wzór na oś symetrii, gdy znamy miejsca zerowe –. Po podstawieniu do niego wartości i otrzymujemy
(5)Brakuje nam jeszcze drugiej współrzędnej () wierzchołka. Znamy jednak pierwszą współrzędną i wiemy, że to wartość funkcji dla argumentu . A więc podstawiamy do wzoru funkcji:

A więc wierzchołek ma współrzędne

Jak widać, otrzymaliśmy taki sam wykres, jak w ćwiczeniu 5. Przeanalizujmy kroki rozwiązania:
(1)Określamy, jak skierowane są ramiona paraboli
(2)Zapisujemy i zaznaczamy na rysunku miejsca zerowe
(3)Znajdujemy punkt przecięcia wykresu z osią OY, podstawiając 0 do wzoru funkcji i zaznaczamy go na rysunku
(4)Znajdujemy współrzędną wierzchołka paraboli za pomocą wzoru
(5)Znajdujemy drugą współrzędną wierzchołka przez podstawienie ; zaznaczamy wierzchołek
(6)Łączymy zaznaczone punkty
Przećwiczmy jeszcze kilka razy rysowanie wykresu funkcji danej wzorem w postaci iloczynowej. W rozwiązaniach możesz używać sposobu poznanego w ćwiczeniu 5 lub ćwiczeniu 5’ – wybierz ten, który jest dla ciebie wygodniejszy.

Ćwiczenie 6:
Naszkicuj wykresy funkcji:

a)
b)
c)

Odpowiedzi:
a)b)
c)

5. Najmniejsza i największa wartość w przedziale
Umiemy już z dosyć dużą dokładnością rysować wykresy funkcji kwadratowych. Warto, żebyśmy nauczyli się również odczytywać z nich różne istotne informacje takie, jak na przykład najmniejsza i największa wartość funkcji:

Ćwiczenie 1:
Dla każdej funkcji podaj jej najmniejszą i największą wartość (o ile istnieją) i argument, dla którego dana wartość jest przyjmowana.

a.b.
Rozwiązanie:
a)Funkcja nie przyjmuje największej wartości (każde ramię paraboli „rośnie do”), a w swoją najmniejszą wartość równą -5 przyjmuje dla argumentu 3
b)Funkcja przyjmuje największą wartość równą 0 dla argumentu -1, a wartości najmniejszej nie przyjmuje (każde ramię paraboli „maleje do”)

Zapewne nie będzie dla ciebie wielkim zaskoczeniem stwierdzenie, że funkcja kwadratowa w swoim wierzchołku przyjmuje albo największą, albo najmniejszą wartość. Możemy to nawet doprecyzować: jeżeli(czyli wykresem jest parabola skierowana ramionami do dołu) funkcja kwadratowa przyjmuje w wierzchołku swoją największą wartość, a jeśli funkcja przyjmie w wierzchołku najmniejszą wartość. Opisując największą i najmniejszą wartość będziemy posługiwać się oznaczeniami (najmniejsza wartość) oraz (największa wartość).
Czasami chcielibyśmy dowiedzieć się, jaka jest najmniejsza i największa wartość funkcji nie w całej dziedzinie, a w określonym przedziale.

Ćwiczenie 2:
Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale oraz określ, dla jakich argumentów są one przyjmowane.
a.
b.
c.

Rozwiązania i odpowiedzi:
a)Zacznijmy od zaznaczenia na rysunku fragmentu wykresu funkcji mieszczącego się w przedziale (czerwony fragment):
Wykres funkcji jest parabolą skierowaną ramionami w górę, więc w wierzchołku przyjmie swoją najmniejszą wartość. Odczytujemy, że wierzchołek ma współrzędne i należy do „interesującego nas” przedziału, bo pierwsza współrzędna wierzchołka (czyli spełnia nierówność. Stąd od razu możemy stwierdzić, że najmniejsza wartość funkcji jest równa -1 i jest przyjmowana dla argumentu -2. Zapisujemy
Największą wartość też możemy bez problemu odczytać z rysunku. Jest ona równa 3 i jest przyjmowana dla argumentu 0(czyli „prawej końcówki” przedziału).
b)Największa wartość: (wierzchołek)
Najmniejsza wartość: („prawa końcówka” przedziału)
c)Funkcja, gdybyśmy analizowali ją w całej dziedzinie, przyjęłaby swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Jednak patrząc na rysunek z zaznaczonym przedziałem zauważymy, że wierzchołek do niego nie należy. Możemy to uzasadnić tym, że współrzędne wierzchołka to, a pierwsza współrzędna równa –3 nie należy do przedziału. Zatem musimy znaleźć najmniejszą wartość w inny sposób. Zwróćmy uwagę, że w przypadku, gdy parabola jest skierowana ramionami do góry, im bliżej wierzchołka „podejdziemy”, tym wartość będzie mniejsza. Najbliższym wierzchołkowi punktem należącym do przedziału jest . Zatem („lewa końcówka” przedziału)
Jak odczytujemy z rysunku, największa wartość zostanie przyjęta w punkcie
, więc („prawa końcówka” przedziału)

Po tym ćwiczeniu, muszę ci się z czegoś wytłumaczyć – zapewne dał(a)byś radę zrobić to zadanie bez całego opowiadania o wierzchołkach i „końcówkach” przedziałów, nie wiedząc nawet, co to jest funkcja kwadratowa. Odczytywanie największej i najmniejszej wartości patrząc na wykres było szczegółowo omawiane przy wprowadzeniu samego pojęcia funkcji kilka rozdziałów temu. A więc, po co te obszerne opisy? Po to, żebyśmy za chwilę byli w stanie znajdować największe i najmniejsze wartości… bez rysowania wykresu.

Zwróć uwagę, że wszystkie „interesujące nas” wartości znajdowały się zawsze w wierzchołku lub na końcówkach przedziału. Wynika to bezpośrednio z twierdzenia Darboux: „każda funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami [wartościami dla argumentów] krańców przedziału” (którego absolutnie nie musisz znać, jeśli zdajesz wyłącznie maturę podstawową). Zapamiętaj jedynie płynącą z niego logikę:
Rozważamy funkcję kwadratową na pewnym przedziale :
Jeśli wykresem funkcjijest parabola skierowana ramionami w górę, w wierzchołku przyjmie swoją najmniejszą wartość. Jeśli pierwsza współrzędna wierzchołka , to. Następnie obliczamy oraz
i jeśli to. Natomiast, jeśli nie należy do , obliczamy i i jeśli to oraz .

Ćwiczenie 3*(ciekawostka dla chętnych):
Uzupełnij analogiczny schemat dla funkcji, której wykresem jest parabola skierowana ramionami w dół:
Rozważamy funkcję kwadratową na pewnym przedziale :
Jeśli wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami w dół, w wierzchołku przyjmie swoją ………….. wartość. Jeśli pierwsza współrzędna wierzchołka , to ………. Następnie obliczamy oraz
i jeśli to ………. Natomiast, jeśli nie należy do , obliczamy i i jeśli ….. to oraz
Odpowiedź:
Rozważamy funkcję kwadratowąna pewnym przedziale:
Jeśli wykresem funkcjijest parabola skierowana ramionami w dół, w wierzchołku przyjmie swoją największą wartość. Jeśli pierwsza współrzędna wierzchołka , to . Następnie obliczamy oraz
i jeśli to Natomiast, jeśli nie należy do , obliczamy i i jeśli to oraz
Być może ilość zmiennych w schematach trochę cię przytłoczyła – a więc czas przejść do przykładów.

Ćwiczenie 4:
Określ największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale po czym naszkicuj ten fragment funkcji .

a)
b)

Odpowiedzi (literą W zostały oznaczone wierzchołki):
a.b.
,,
Ćwiczenie 5:
Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale i określ, dla jakiego argumentu jest ona przyjmowana. Dodatkowo określ, czy wierzchołek funkcji należy do przedziału.

a)w
b)w
c)w
d)w
e)w
f)w

Odpowiedzi i rozwiązania przykładów a i c:
a)Funkcja została podana w postaci kanonicznej, więc od razu odczytujemy współrzędne wierzchołka . Pierwsza współrzędna , więc wierzchołek należy do podanego przedziału. Wiemy również, że parabola jest skierowana ramionami w górę, więc w wierzchołku przyjmie swoją najmniejszą wartość, więc. Teraz obliczamy wartości na końcach przedziału oraz .
więc największą wartość zapiszemy jako .
b)Wierzchołek nie należy do przedziału, ,
c)Funkcja została podana w postaci iloczynowej. Od razu odczytujemy miejsca zerowe i obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka ze wzoru., więc wierzchołek należy do podanego przedziału (będąc jednocześnie jego „końcówką”). Parabola jest skierowana ramionami do dołu, więc. Najmniejszą wartość funkcja przyjmie dla argumentu -10, .
d)Wierzchołek nie należy do przedziału, ,
e)Wzór funkcji jest podany w postaci ogólnej, więc jego pierwszą współrzędną obliczamy ze wzoru., więc wierzchołek nie należy do przedziału. W takim razie obliczamy jedynie wartości na końcach przedziałuoraz ., więc najmniejszą wartością jest
, a największą.
f)Wierzchołek należy do przedziału,,

6.Równania kwadratowe i nierówności kwadratowe
e. Punkty przecięcia wykresów funkcji
f. Równania kwadratowe
g. Równania prowadzące do równań kwadratowych
h. Nierówności kwadratowe
i. „Sprytne” równania i nierówności
j. Równania kwadratowe z parametrem

7.Pewniaki maturalne – poziom podstawowy
Funkcja kwadratowa to dział, który – ku zadowoleniu większości maturzystów – pozwala zdobyć sporo punktów na egzaminie dojrzałości. Omówimy poniżej kilka podstawowych typów zadań.

Pierwszym typem zadania, które możemy spotkać w części zamkniętej, jest pytanie o ogólne własności funkcji danej wzorem. Możemy zostać na przykład zapytani o ilość miejsc zerowych funkcji:

1 Informator maturalny matematyka matura podstawowa 2023, str. 38
Rozwiązanie z pytaniami pomocniczymi:
Zauważmy, że w tym pytaniu pytają na o ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Od czego zależy, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa?
Ilość miejsc zerowych jest zależna od wartości wyróżnika (delty). Obliczamy:
Nie znamy niestety wartości współczynnika, wiemy tylko z treści zadania, że.
A co możemy powiedzieć o ?Czy możemy stwierdzić czy jest ujemne, czy dodatnie?
Niezależnie od wartości, zawsze, skąd wynika, że tym bardziej. A więc, czyli funkcja ma 2 (rzeczywiste) miejsca zerowe. Poprawna odpowiedź: A1.
Powtarza się też dość często pytanie o oś symetrii wykresu funkcji:

Rozwiązanie:
Jak wiemy z rozdziału „Postać kanoniczna funkcji kwadratowej”, równanie osi symetrii paraboli to, gdzie obliczamy ze wzoru. Stąd. Zwróć uwagę, żeby uważnie czytać odpowiedzi: poprawna odpowiedź to A., czyli (nie pomyl z– to by była zupełnie inna prosta!)

Dość podobnym typem zadania jest to, gdzie zostajemy zapytani o przedziały monotoniczności:

1Matura poprawkowa CKE, sierpień 2019

Rozwiązanie z pytaniami pomocniczymi:
Większość zadań z funkcji kwadratowej musimy zacząć od zadania sobie dwóch, najważniejszych pytań:
1. W jakiej postaci podano nam wzór funkcji?
W postaci iloczynowej
2. Jak skierowanie są ramiona paraboli będącej wykresem funkcji?
Parabola jest skierowana ramionami do dołu, bo
Po odpowiedzeniu na te 2 pytania, możemy już „mniej-więcej” wyobrazić sobie wykres funkcji (rysunek po prawej).
W którym punkcie jej monotoniczność się zmienia?
Monotoniczność funkcji kwadratowej zawsze zmienia się w jej wierzchołku.
Czy ta funkcja będzie maleć od do wierzchołka, czy od wierzchołka do ?
Patrząc na rysunek możemy stwierdzić, że funkcja maleje po prawej stronie wierzchołka, czyli od wierzchołka do.
Jak zapiszemy ten przedział?
Żeby go zapisać, musimy poznać pierwszą współrzędną wierzchołka. Jak ją obliczymy?
Ze wzoru , czyli . A więc funkcja jest malejąca w przedziale . Poprawna odpowiedź: A

Czasami pojawiają się również pytania o największą lub najmniejszą wartość funkcji w przedziale:

2Matura poprawkowa CKE, sierpień 2018

Rozwiązanie (jeśli nie jest dla ciebie całkowicie jasne, wróć do rozdziału „Inne zadania z funkcji kwadratowej”):
Funkcja będzie skierowana ramionami do dołu, a więc w wierzchołku przyjmie swoją największą wartość – czyli tę, o którą pytają w zadaniu. Dlatego w pierwszej kolejności musimy sprawdzić, czy wierzchołek (a właściwie jego współrzędna) mieści się w przedziale. Wzór został nam podany w postaci kanonicznej, więc od razu odczytujemy, że, a 2 nie należy do tego przedziału, więc o wierzchołek „nie musimy się martwić”. Wystarczy, że obliczymy wartości w końcach przedziałów i wybierzemy większą z nich:
,. Większa z tych liczb to 3,więc poprawna odpowiedź: D.

Możemy zostać również zapytani o zbiór wartości:

3Matura poprawkowa CKE, sierpień 2021

Rozwiązanie z pytaniami pomocniczymi:
Naszym celem w tym zadaniu jest ustalenie zbioru wartości tej funkcji.
Z jakiej postaci funkcji możemy od razu odczytać zbiór wartości funkcji?
Z postaci kanonicznej – zbiór wartości to przedział gdy parabola skierowana jest ramionami w górę i dla paraboli skierowanej ramionami w dół (jeśli potrzebujesz dodatkowego wyjaśnienia, wróć do rozdziału „Postać kanoniczna funkcji kwadratowej”.
A w jakiej postaci podano nam wzór funkcji w zadaniu?
Zwróć uwagę, że funkcja jest podana jednocześnie w postaci ogólnej
() i kanonicznej
().
Jak skierowane są ramiona paraboli i co nam to mówi o zbiorze wartości?
Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc zbiór wartości to przedział. Wiemy, że, a więc zbiór wartości to. Poprawna odpowiedź: D.

4 Matura poprawkowa CKE, wrzesień 2020

Rozwiązanie:
Znowu mamy do czynienia z zadaniem o zbiorze wartości, jednak w trochę innej formie –mamy ustalić wartość parametru tak, aby zbiór wartości funkcji był taki sam, jak podany w treści zadania. Zauważmy, że wzór funkcji został podany w postaci kanonicznej, gdzie . Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc zbiór wartości to przedział . Z treści zadania wiemy, że , a więc . Poprawna odpowiedź: B.

Innym klasykiem zadań zamkniętych jest rozpoznawanie wzoru funkcji, mając podany jej wykres.

2 Informator maturalny matematyka matura podstawowa 2023, str. 43
Rozwiązanie z pytaniami pomocniczymi:
Do takich zadań najlepiej podejść, używając taktyki wykluczania nieprawidłowych odpowiedzi (oczywiście, jeśli jest to zadanie zamknięte). Popatrzmy więc na możliwe odpowiedzi –czy widzisz, co mają wspólnego?
Wszystkie są podane w postaci kanonicznej.
Czego dowiadujemy się od razu patrząc na wzór w postaci kanonicznej?
Z postaci kanonicznej możemy od razu odczytać współrzędne wierzchołka i ułożenie ramion paraboli – a więc najprawdopodobniej na tym musimy się skupić.
Jak skierowane są ramiona paraboli przedstawionej na rysunku i o czym nas to informuje?
Ramiona paraboli są skierowane w dół, a więc wiemy, że. Czyli, jeśli w którejś odpowiedzi mamy dany wzór, w którym, możemy ją już odrzucić.
Czy wśród podanych odpowiedzi jest taka, którą możemy odrzucić?
Niestety nie – zauważ, że w każdym wzorze w odpowiedziach. W takim razie, musimy przyjrzeć się współrzędnym wierzchołka.
Jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli przedstawionej na rysunku?
Pierwsza współrzędna wierzchołka to . Przyjrzyjmy się jeszcze raz odpowiedziom – we wzorach podanych w podpunktach C. i D. , czyli te odpowiedzi możemy już odrzucić. Poprawna będzie A. lub B.
Jaka jest druga współrzędna wierzchołka paraboli przedstawionej na rysunku?
Druga współrzędna wierzchołka to .
W której z pozostałych odpowiedzi nie jest równe ?
W odpowiedzi B., a więc ją też odrzucamy. Jedyna nieodrzucona odpowiedź, która została, to A.
Poprawna odpowiedź: A.

3 Matura poprawkowa CKE, sierpień 2021

Rozwiązanie:
Wszystkie odpowiedzi podane są w postaci ogólnej, z której od razu możemy odczytać skierowanie ramion paraboli oraz punkt przecięcia wykresu z osią OY. Narysowana parabola skierowana jest ramionami w dół, więc . Stąd możemy już odrzucić odpowiedzi A. i C., gdzie we wzorach funkcji jest .
Patrząc na rysunek, widzimy, że , bo punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się poniżej osi OX. To pozwala odrzucić odpowiedź B., gdzie .Jedyną możliwą odpowiedzią pozostaje D.

Czasami możemy też nie zostać poproszeni o „zgadnięcie” wzoru, a jedynie o podanie pewnych własności:

5 Matura poprawkowa CKE, wrzesień 2020
Poprawna odpowiedź: D(jeśli rozwiązanie nie jest dla ciebie jasne, wróć do rozdziału „Postać ogólna funkcji kwadratowej”)
W formule matury obowiązującej od 2015 do 2022 roku, w każdym arkuszu pojawiła się również nierówność kwadratowa, jako zadanie otwarte warte 2 punkty.

6 Matura w terminie dodatkowym CKE, czerwiec 2021

Rozwiązanie (jeśli coś w nim będzie dla ciebie niejasne, wróć do rozdziału „Równania i nierówności kwadratowe”):
Zaczniemy od wymnożenia prawej strony równania tak, by „pozbyć się” nawiasów:

Otrzymujemy: .
przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności
po zredukowaniu otrzymujemy postać ogólną
,=2, obliczamy miejsca zerowe
Szkicujemy przybliżony wykres funkcji – pamiętamy, że parabola jest skierowana ramionami w górę!

Interesują nas wartości pod osią OX. Pamiętając o tym, że nierówność jest ostra (a więc miejsca zerowe nie będą należeć do przedziału) zapisujemy odpowiedź:

Mogą pojawić się również inne zadania otwarte, w których na podstawie wybranych informacji musimy ustalić wzór funkcji kwadratowej. Omówmy jedno z nich, opublikowane w informatorze maturalnym dla formuły 2023:

Rozwiązanie z pytaniami pomocniczymi:
Na początku musimy zadać sobie pytanie :co wiemy z treści zadania?
Wiemy, że(1)do wykresu funkcji należy punkt ,(2) osią symetrii jest prosta, a(3)jednym z miejsc zerowych . A jakich danych dokładnie szukamy?
Mamy znaleźć wzór funkcji w postaci iloczynowej. Jedno miejsce zerowe już mamy podane (), więc musimy znaleźć drugie (lub stwierdzić, że nie istnieje) oraz wartość współczynnika.
Jak najszybciej możemy znaleźć drugie miejsce zerowe?
Skorzystamy z tego, że oś symetrii znajduje się dokładnie w środku pomiędzy miejscami zerowymi, czyli ze wzoru ., więc po podstawieniu otrzymujemy: . Po rozwiązaniu równania otrzymujemy .
Czego jeszcze brakuje nam do rozwiązania i jakiej informacji podanej w treści zadania jeszcze nie użyliśmy?
Musimy obliczyć jeszcze wartość. Zauważmy, że nie wykorzystaliśmy jeszcze informacji o punkcie należącym do wykresu funkcji. Jak korzystamy z informacji, że jakiś punkt należy do wykresu funkcji?
Informacje o punkcie należącym do wykresu zwykle wykorzystujemy podstawiając jego współrzędne do wzoru funkcji. Zauważmy, że znając obydwa miejsca zerowe, możemy zapisać . Po podstawieniu otrzymamy:
skąd po rozwiązaniu otrzymujemy . Dlatego odpowiedź to .
Ciekawą innowacją, wprowadzoną w nowej formule matury 2023, są zadania z kontekstem praktycznym. Rozwiążmy jedno z nich, łączące funkcję kwadratową ze znajomością podstawowych zasad fizyki:

Rozwiązanie:
Zasadniczą trudnością w takich zadaniach jest uświadomienie sobie, jaki obiekt matematyczny przypomina przedstawiona sytuacja. Wiemy, że tor ruchu piłki jest fragmentem paraboli o równaniu . Spróbujmy myśleć o przedstawionej na rysunku sytuacji , jako o wykresie funkcji na układzie współrzędnych – pokazane są jedynie dodatnie półosie, a początek układu znajduje się tuż obok lewej stopy koszykarza. Gdy to sobie uświadomimy, okazuje się, że wysokość obiektu, to wartość funkcji. Stąd wysokość kosza to wartość funkcji dla argumentu 7,01. Podstawiamy i otrzymujemy w przybliżeniu 3,06. Więc poprawna odpowiedź to B.

Idąc tym tokiem rozumowania, co przed chwilą, piłka osiągnie maksymalną wysokość wtedy, kiedy funkcja osiągnie maksymalną wartość. Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc maksymalną wartość osiągnie w swoim wierzchołku, więc obliczymy ją ze wzoru . Mamy przybliżyć wyrażenie do drugiego miejsca po przecinku, więc poprawna odpowiedź to.

Na początku zwróć uwagę, że wcześniej ciągle uwzględnialiśmy jedynie ruch środka piłki – tutaj podany został dodatkowo promień. Wiemy stąd, że piłka upadnie na parkiet, gdy jej środek znajdzie się 0,12m nad parkietem .
Opisując to równaniem: szukamy punktu na wykresie funkcji, w którym wartość jest równa 0,12, więc zapiszemy przenosimy 0,12 na lewą stronę
to równanie kwadratowe ma 2 rozwiązania
oraz

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, jednak wiemy, że piłka może upaść tylko w jedno miejsce na raz. Przyjrzyjmy się jeszcze raz rysunkowi: gdyby piłka upadła w miejsce oznaczone przez oznaczałoby to, że koszykarz rzucił (a właściwie upuścił) ją za siebie. Natomiast nas interesuje punkt, który znajdzie się trochę „za koszem” – czyli znacznie bardziej racjonalna jest odpowiedź, że piłka dotknęła parkietu, gdy jej środek znajdował się w punkcie o współrzędnej.

Jeżeli już omawiamy zadania z kontekstem praktycznym, warto wspomnieć o ich szczególnej podgrupie – czyli zadaniach optymalizacyjnych. Zadania optymalizacyjne poznamy po specyficznej strukturze polecenia „Oblicz ….. tak, aby ……. było najmniejsze/największe”. Przeanalizujmy zadanie poniżej:

7 Informator maturalny matematyka matura podstawowa 2023, str. 60

Rozwiązanie z pytaniami pomocniczymi:
Zacznijmy od zadania sobie pytania: co właściwie będziemy optymalizować i w jaki sposób?
Całkowite pole powierzchni magazynowej(to, co będziemy optymalizować, to właśnie wartość, która ma być najmniejsza lub największa) tak, aby było naj większe możliwe.
A co mamy dane (co jest stałą wartością, której nie możemy zmienić)?
Stałą wartością jest tutaj łączna długość płotu, wynosząca 580 metrów.
Jak zapiszemy tę stałą wartość (łączną długość płotu) używając oznaczeń danych w zadaniu?
Przyjrzyjmy się rysunkowi – płot ma zostać poprowadzony wzdłuż przerywanych linii, a więc na jego łączną długość składają się 3 pionowe odcinki, o łącznej długości , 2 poziome, nieprzerwane odcinki
o łącznej długości oraz 2 poziome odcinki, od których musimy odjąć szerokość bramy, co zapiszemy jako . Stąd, po zsumowaniu otrzymamy łączną długość. Zapiszmy równaniem.
A jak (używając tych samych oznaczeń i ) zapiszemy wartość, którą optymalizujemy (czyli całkowite pole)?
Pole całkowite będzie sumą pól obydwu prostokątnych działek, więc możemy je zapisać jako.
Chcielibyśmy, aby pole było funkcją jednej zmiennej, bo tylko o takich uczymy się w szkole – póki co mamy w nim dwie zmienne: i . Co musimy zrobić, aby stało się funkcją jednej zmiennej?
Musimy wykonać podstawienie, korzystając z wyznaczonego wcześniej równania. Wyznaczmy z niego:


Do wzoru na pole podstawiamy za otrzymaną wartość i otrzymujemy funkcję zmiennej:

Wzór jakiej funkcji i w jakiej postaci otrzymaliśmy?
Otrzymaliśmy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.
Musimy pamiętać, że w zadaniach optymalizacyjnych sprawdzający wymagają od nas zapisania założeń (wyznaczenia dziedziny funkcji ). Jakich założeń wymaga od nas to zadanie?
Zazwyczaj prawdziwa jest zasada, że potrzebujemy tylu założeń, ile zmiennych mieliśmy na początku. Zwróć uwagę, że zarówno jak i opisują długości boków, więc nie mogą być ujemne. Dodatkowo, musi być większe od 10, aby na płocie o takiej długości zmieściła się brama wjazdowa. Zatem założenia to (1)i (2). Dodatkowo, obydwa muszą „opowiadać” o, ponieważ to jest zmienna funkcji, którą będziemy optymalizować. Dlatego w założeniu (2) musimy wykonać podstawienie , co możemy uprościć do postaci.
A więc jaka będzie dziedzina funkcji?

Mamy otrzymać największe możliwe pole, a więc największą możliwą wartość funkcji w jej dziedzinie, czyli przedziale. Od czego zaczniemy szukanie tej największej wartości?
Zauważmy, że wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami w dół – a więc przyjmująca swoją największą wartość w wierzchołku. Dalej będziemy postępować tak, jak w zadaniach, w których wymagano od nas jedynie obliczenia największej wartości funkcji w przedziale (a więc, jeśli coś będzie dla ciebie niejasne, wróć do rozdziału „Inne zadania z funkcji kwadratowej”). Zaczniemy od określenia, czy wierzchołek mieści się w dziedzinie. Korzystamy ze wzoru
i otrzymujemy . , więc funkcja osiągnie swoją największą wartość, gdy .
Czego jeszcze brakuje nam do udzielenia odpowiedzi?
Zwróć uwagę, że w poleceniu proszą nas o podaniewymiarówdziałki, a więc wartości i . Pierwszą z nich już znamy, więc wystarczy podstawić wartość do wzoru
Odpowiedź: Całkowite pole powierzchni magazynowej będzie największe dla wymiarów i .

Dodatek dla rozszerzenia
Żeby zdawać maturę rozszerzoną, trzeba mieć bardzo dobrze opanowaną funkcję kwadratową. Pewniakiem maturalnym w formule 2015 były równania kwadratowe z parametrem – w każdym arkuszu od 2015 do 2021 pojawiło się jedno zadanie, warte zazwyczaj 6 punktów.
Ich zaletą jest fakt, że są dosyć schematyczne. Algorytm rozwiązywania tych zadań można ująć w dwóch krokach:
1. Wypisanie założeń z treści zadania
2. Sprawdzenie, dla jakich wartości parametru są one prawdziwe
Nie brzmi najgorzej, prawda? 🙂 Więc przejdźmy do praktyki (jeśli w poniższym rozwiązaniu coś jest dla ciebie niejasne, spróbuj wrócić do tematu „Równania i nierówności kwadratowe”, gdzie szczegółowo omawialiśmy rozwiązywanie równań kwadratowych z parametrem):

8 Matura w terminie dodatkowym CKE, czerwiec 2017
Rozwiązanie z pytaniami pomocniczymi:
Jakie założenia mamy dane w treści zadania i jak je zapiszemy?
Po pierwsze, równanie ma mieć dwa różne rozwiązania, więc zapisujemy:
1.
Po drugie, każde z tych rozwiązań ma należeć do przedziału . Zapisujemy:
2.
Co musimy zrobić w pierwszym założeniu, aby sprawdzić, dla jakich wartości jest ono spełnione?
Musimy policzyć deltę po czym sprawdzić, kiedy jej wartość jest dodatnia. Więc liczymy:

Teraz musimy rozwiązać nierówność
korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia, żeby od razu znaleźć miejsca zerowe.
Rysujemy przybliżony wykres paraboli i zaznaczmy przedziały, w których wartość jest większa od 0:
skąd odczytujemy zbiór rozwiązań:.
Przejdźmy teraz do drugiego założenia. Jak możemy inaczej je zapisać, nie używając przedziału?
możemy zapisać jako układ dwóch nierówności:
Jeżeli w obydwu nierównościach przeniesiemy wszystkie wyrazy na lewą stronę otrzymamy
Chcemy, takie oraz , żeby były jednocześnie ujemne. Co w takim razie możemy o nich powiedzieć?
Podpowiedź: co w takim razie możemy powiedzieć o ich sumie i iloczynie?
Suma dwóch liczb ujemnych jest ujemna, więc możemy zapisać
Natomiast iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, więc zapisujemy
Co teraz będziemy robić, aby rozwiązać te dwie nierówności?
Będziemy chcieli tak przekształcić wyrażenia po lewej stronie, aby zobaczyć w nich wzory Viete’a. Zacznijmy od pierwszej
to już jest nasza docelowa postać. Korzystamy z wzoru Viete’a i otrzymujemy:

zapisujemy obok zbiór rozwiązań nierówności:
Przechodzimy do drugiej nierówności

do tej postaci podstawiamy wartości wzorów Viete’a i otrzymujemy:

otrzymaliśmy postać ogólną

; znaleźliśmy miejsca zerowe
Zaznaczamy przedział rozwiązań nierówności:
otrzymujemy
Przeanalizowaliśmy już obydwa założenia. Co musimy zrobić, żeby dokończyć zadanie?
Wziąć część wspólną ze wszystkich podkreślonych przedziałów. Wypiszmy je poniżej:
1.
2.1.
2.2.
Jaka jest ich część wspólna?
Częścią wspólną jest
Odpowiedź:

8. Podsumowanie wiadomości i najważniejsze wzory
Funkcja kwadratowa występuje w trzech postaciach: ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Omówmy krótko każdą z nich:
Postać ogólna przede wszystkim pozwala nam na operowanie wzorami
1. Współrzędne wierzchołka:
oraz
2. Ilość rozwiązań równania /ilość miejsc zerowych funkcji:
Wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę) liczymy ze wzoru i wiemy, że
jeżeli to równanie ma dwa rozwiązania /funkcja ma dwa miejsca zerowe
jeżeli to równanie ma jedno rozwiązanie/funkcja ma jedno miejsce zerowe
jeżeli to równanie nie ma rozwiązań /funkcja nie ma miejsc zerowych
3. Miejsca zerowe:
oraz
4. Współczynnik kierunkowy paraboli:
jeżeli to parabola jest skierowana ramionami w dół
jeżeli to parabola jest skierowana ramionami do góry
5. Przecięcie wykresu z osią OY:
6. Wzory Viete’a:
oraz
Z postaci kanonicznej możemy od razu odczytać współrzędne wierzchołka paraboli:
1. Współrzędne wierzchołka:
2. Oś symetrii:
3. Zbiór wartości:
jeżeli to
jeżeli to
4. Monotoniczność:
jeżeli to:
fw przedziale
fw przedziale
jeżelito:
fw przedziale
fw przedziale
5. Wektor przesunięcia: Parabola postaci to parabola przesunięta o wektor
6. Współczynnik kierunkowy paraboli:
jeżeli to parabola jest skierowana ramionami w dół
jeżeli to parabola jest skierowana ramionami do góry
Postać iloczynowa pozwala nam od razu odczytać miejsca zerowe funkcji:
1. Miejsca zerowe: x1i x2
2. Wartości ujemne i dodatnie:(dla x1< x2)
jeżeli to
w przedziale (x1; x2)
w
jeżeli to
w przedziale (x1; x2)
w
3. Oś symetrii paraboli:
4. Współczynnik kierunkowy paraboli:
jeżeli to parabola jest skierowana ramionami w dół
jeżeli to parabola jest skierowana ramionami do góry
5. Przecięcie wykresu z osią OY:
Większość z tych wzorów możesz znaleźć w tablicach maturalnych (dla formuły 2023 na stronach 7 i 8, dla formuły 2015 na stronie 4)
Jedną postać funkcji na inną możesz zmieniać wg następujących zasad:
Jeśli chcesz zmienić postać ogólną na kanoniczną, użyj wzorów oraz po czym wartości wstaw do wzoru (wartość współczynnika zostaje bez zmian)
Jeśli chcesz zmienić postać kanoniczną na ogólną, wymnóż wyrażenia w tak, aby otrzymać (po prostu „pozbądź się” nawiasów)
Jeśli chcesz zmienić postać ogólną na iloczynową, użyj wzorów oraz po czym wartości wstaw do wzoru (wartość współczynnika zostaje bez zmian)
Jeśli chcesz zmienić postać iloczynową na ogólną, wymnóż wyrażenia w tak, aby otrzymać (po prostu „pozbądź się” nawiasów)
Jeśli chcesz zmienić postać kanoniczną na iloczynową, oblicz miejsca zerowe będące rozwiązaniami równania po czym podstaw je za miejsca zerowe do wzoru
Jeśli chcesz zmienić postać iloczynową na kanoniczną, użyj wzoru po czym skorzystaj z tego, że i wstaw obliczone wartości do wzoru
Żeby naszkicować wykres funkcji kwadratowej, musisz:
Określić, jak skierowane są ramiona paraboli
Określić, ile miejsc zerowych ma parabola
Obliczyć współrzędne wierzchołka i zaznaczyć go na układzie współrzędnych
Obliczyć współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY i zaznaczyć go na układzie współrzędnych
Jeżeli miejsca zerowe istnieją, obliczyć je i zaznaczyć na układzie współrzędnych
Połączyć wszystkie zaznaczone punkty
Aby znaleźć najmniejszą i największą wartość w funkcji w przedziale:
Określ, czy pierwsza współrzędna wierzchołka () należy do tego przedziału.
Jeśli tak, oblicz wartość jego drugiej współrzędnej.
Jeśli nie, nie przejmuj się nim i od razu przejdź do punktu 2.
Policz wartości na początku i na końcu przedziału.
Ze wszystkich obliczonych wartości wybierz najmniejszą () i największą ()