Wzór na deltę

Delta nazywana jest inaczej wyróżnikiem trójmianu kwadratowego. To właśnie dzięki niej możemy obliczyć rozwiązania równania kwadratowego (o ile oczywiście istnieją!) lub wierzchołek paraboli.

Poznaliście już, czym jest postać ogólna funkcji kwadratowej. To właśnie do niej musimy doprowadzić równanie, aby móc przejść do obliczenia delty.
Doprowadzamy więc równanie do postaci:

ax2+bx+c=0

gdzie a, b i c są współczynnikami liczbowymi i a nie może być równe 0.

Przykładem takiego równania jest na przykład:
6x2-8x+2=0
gdzie a=6, b=-8, c=2
Mamy więc do czynienia z postacią ogólną funkcji kwadratowej.

Możemy przejść już do obliczenia delty. Wzór na nią to:

Δ=b2-4ac

Aby obliczyć deltę musimy więc znać współczynniki liczbowe a, b i c równania. Wróćmy więc do naszego przykładu. Wiemy już, że a=6, b=-8 i c=2. Podstawiamy te wartości do powyższego wzoru.
Δ=(-8)2-4*6*2=64-48=16

Przećwiczmy więc wyznaczanie delty w różnych przykładach.

ĆWICZENIE
Oblicz deltę.
a) 5x2+5x+1=0
a=5
b=5
c=1
Δ=52-4*5*1=25-20=5
b) –x2+4x-6=0
a=-1
b=4
c=-6
Δ=42-4*(-1)*(-6)=16-24=-8

Spróbuj teraz policzyć deltę sam!

ZADANIE
Oblicz deltę.
a) 2x2+8x−8=0
b) x2+8x+15=0
c) 2x2+7x+3=0
d) 6x2-2x−1=0

odpowiedzi do przykładów;
a) Δ=128
b) Δ=4
c) Δ=25
d) Δ=28

Wiemy już jak obliczyć deltę, warto więc rozważyć, co jej wartość mówi nam o równaniu kwadratowym, którego rozwiązanie chcemy poznać. Przede wszystkim dzięki niej dowiadujemy się o liczbie rozwiązań danego równania. Wyróżniamy 3 możliwości:

Δ<0

W pierwszym przypadku delta jest mniejsza od zera. Równanie nie ma wtedy pierwiastków, a więc nasze równanie nie ma rozwiązań.

Δ=0

W takim przypadku równanie ma jedno rozwiązanie, które możemy obliczyć ze wzoru:


Δ>0

w trzecim przypadku równanie ma pierwiastki, czyli rozwiązania. Możemy je wyznaczyć ze wzorów:
i

UWAGA! Zauważ, że wzory na pierwiastki równania w drugim i trzecim przypadku są bardzo podobne. W przypadku gdy delta jest równa 0, nie uwzględniamy po prostu w równaniu pierwiastka z tej delty!

Zróbmy teraz ćwiczenie, aby lepiej zapamiętać powyższe wzory.

ĆWICZENIE
a) 2x2+8x−8=0
a=2
b=8
c=-8
Δ=8*8-4*2*(-8)=64+64=128
Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa rozwiązania:

b) x2+2x−3=0
a=1
b=2
c=-3
Δ=2*2-4*1*(-3)=4+12=16
Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa rozwiązania:

c) x2+4x+4=0
a=1
b=4
c=4
Δ=4*4-4*1*4=16-16=0
Delta jest równa zero, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

Zróbmy teraz zadanie, aby sprawdzić czy temat jest dla nas zrozumiały.

ZADANIE
Wyznacz pierwiastki równania.

a) x2+4x+3=0
b) x2+7x+12=0
c) x2-x-30=0

ODPOWIEDZI

a) x1=-3 i x2=-1
b) x1=-3 i x2=-4
c) x1=-5 i x2=6

Równania sprowadzane do równań kwadratowych

Niektóre z równań na pierwszy rzut oka będą nierozwiązywalne za pomocą powyższej metody – stopień tego równania będzie wyższy niż dwa. W takim przypadku pomocne może okazać się podstawienie na przykład za x2 litery t, dzięki której zmniejszy się stopień naszego równania i będziemy w stanie rozwiązać je nie zmieniając metody obliczeń.

ĆWICZENIE
a) x4-5x2-36=0
Za x2 podstawiamy t, czyli x2=t
t2-5t-36=0
a=1
b=-5
c=-36
Δ=25-4*1*(-36)=25+144=169


Teraz znów za t podstawiamy x2, aby poznać rozwiązania równania:
x2=-4, równanie sprzeczne, nie ma rozwiązań
x2=9 Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
x2-9=0
(x-3)(x+3)=0
x=3 lub x=-3
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x=3 lub x=-3.

Spróbuj teraz rozwiązać podobne przykłady samodzielnie.

ZADANIE
Rozwiąż równania, sprowadzając je do równań kwadratowych:

a) x4-10x2+9=0
b) x4+8x2-9=0
c) 9x4-8x2-1=0

odpowiedzi:

a) x=-1 lub x=1 lub x=-3 lub x=3
b) x=1 lub x=-1
c) x=1 lub x=-1