Liczby niewymierne

Liczby niewymierne – to takie liczby, których nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego (gdzie licznik jest liczbą całkowitą, a mianownik różny od zera). Posiadają one nieskończone rozwinięcia dziesiętne. Można powiedzieć, że są przeciwnością liczb wymiernych. Razem z liczbami wymiernymi tworzą zbiór liczb rzeczywistych. Do liczb niewymiernych należą na przykład: , ,, π.
Żadnej z liczb z powyższych przykładów nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdyż ich rozwinięcia dziesiętne są nieskończone i nieokresowe. Jednak co z zapisem ? Jest to zapisane w postaci ułamka, ale nie jest to ułamek zwykły, gdyż licznik musi być liczbą całkowitą, a mianownik różny od zera. Jeden jest większe od zera, co daje nam poprawnie zapisany mianownik ułamka, jednak licznik nie jest liczbą całkowitą, czyli taką, która składa się z samych całości (nie ma przy sobie żadnego ułamka, ani rozwinięcia dziesiętnego). W takim razie nie jest ułamkiem zwykłym, co za tym idzie jest to nadal liczba wymierna.
UWAGA! Należy pamiętać, że nie każdy pierwiastek jest liczbą niewymierną, na co mogłyby świadczyć podane przykłady. Liczbami niewymiernymi są w większości pierwiastki, jednak takie, z których nie możemy wyliczyć całkowitego wyniku. w rozwinięciu dziesiętnym to około 1,414213562…, natomiast jeśli weźmiemy pod uwagę na przykład to wyjdzie nam wynik równy 3, co jest liczbą całkowitą, więc zapis dałbym nam wynik , co jest ułamkiem zwykłym, gdyż licznik jest liczbą całkowitą, a mianownik różny od zera. Innymi przykładami pierwiastków, które nie są liczbami wymiernymi to: , .

PRZYBLIŻONE WARTOŚCI I OŚ LICZBOWA
Liczby niewymierne nie posiadają swoich dokładnych wartości, gdyż rozwinięcia dziesiętne ciągną się w nieskończoność. Dlatego stosuje się wartości przybliżone tych liczb, aby poznać przybliżony wynik jakiegoś działania w zadaniu. Kiedy chcemy coś takiego obliczyć, wystarczy podać przybliżoną wartość pierwiastka i wykonać odpowiednie działania, jakie wymagane są w działaniu. Najczęściej podaje się przybliżoną wartość do drugiego miejsca po przecinku. Przykład: .
Przykładowe rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych:

Aby ustalić, gdzie na osi liczbowej znajduje się jakiś pierwiastek lub chcemy oszacować jego wartość, należy przyrównać naszą liczbę niewymierną w postaci pierwiastka do dwóch pierwiastków, z których wyjdą nam liczby całkowite (jeden większy od liczby niewymiernej, a drugi mniejszy). Może to być trochę skomplikowane, więc poniżej znajduje się przykład, kiedy chcemy ustalić przybliżoną wartość .
> oraz < – pierwiastki i możemy zamienić kolejno na 3 i 4. Tak więc wychodzi nam nierówność: < < , czyli < < Wiemy więc, że jest większy od 3, ale mniejszy od 4, więc znajduje się on na osi liczbowej między tymi dwoma cyframi.
Możemy trafić także na przypadek, kiedy przy pierwiastku stoi jakaś liczba całkowita większa od 1, na przykład: . W takim przypadku trzeba zamienić liczbę całkowitą na pierwiastek i wykonać mnożenie dwóch pierwiastków: , . Teraz wystarczy to przyrównać do liczb całkowitych: < < , czyli < < . (mnożenie pierwiastków jest bardziej wytłumaczone niżej w podrozdziale ILOCZYN DWÓCH LICZB NIEWYMIERNICH)
Przykłady pierwiastków, które można zamienić na liczbę całkowitą: .

SUMA LICZBY NIEWYMIERNEJ Z LICZBĄ WYMIERNĄ
Jeśli zsumujemy liczbę niewymierną i wymierną, to zawsze wynik będzie liczbą niewymierną, na przykład: , , , . W wyniku zawsze wyjdzie nam liczba niewymierna, gdyż po zsumowaniu tych liczb zawsze wynik będzie miał jakieś rozwinięcie dziesiętne, przez co nie będzie mógł być zapisany w postaci ułamka zwykłego.
Dla przykładu weźmy jakieś przybliżone rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej i zsumujmy z liczbą wymierną, na przykład: . Działanie to będzie więc wyglądało mniej więcej w taki sposób: . Wychodzi nam proste działanie, w którym wystarczy dodać do siebie całości, gdyż cyfra trzy ma same zera po przecinku, których się oczywiście nie pisze. Wynik to w . Widzimy więc, że liczba ta nadal ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, co uniemożliwia nam zapisania jej w postaci ułamka zwykłego. Taka sama sytuacja będzie, kiedy jedna z tych liczb jest ujemna (mówiąc inaczej, kiedy odejmujemy jedną liczbę od drugiej), na przykład .
Podobna sytuacja jest wtedy, gdy sumujemy liczbę niewymierną z ułamkiem zwykłym lub dziesiętnym, na przykład: , , . Rozwiążmy dla przykładu działania . Należy podać kilka liczb z rozwinięcia dziesiętnego pierwiastka i dodać ułamek dziesiętny do naszej liczby niewymiernej: . Jak widać 0,5 miało jedno miejsce po przecinku, więc dodaliśmy cyfrę 5 do pierwszego miejsca po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym, co spowodowało zmianę cyfry 4 na cyfrę 9. Większego znaczenie nie ma też to, czy jest to , czy . Jedynie wynik będzie się nieco różnił. Tak więc przeprowadzona suma nie miała żadnego większego wpływu na tę liczbę, czyli nadal jest to liczba niewymierna, gdyż ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Nie istnieje taka liczba wymierna, która po zsumowaniu z liczbą niewymierną, mogłaby dać nam liczbę wymierną.

ILOCZYN DWÓCH LICZB NIEWYMIERNYCH
Iloczyn dwóch liczb niewymiernych, może dać nam w wyniku zarówno liczbę wymierną, jak i niewymierną, na przykład: (liczba niewymierna), (liczba wymierna), (liczba wymierna), (liczba niewymierna), (liczba wymierna). Poniżej rozpatrzę dlaczego tak jest.
– mamy dwie liczby niewymierne i aby sprawdzić, czy jest to liczba wymierna, czy niewymierna, należy sprowadzić działanie w miarę możliwości (do najprostszej postaci). Mnożąc dwa pierwiastki, możemy zapisać ich iloczyn pod jednym pierwiastkiem , a następnie wykonać proste mnożenie i sprawdzić, czy powstały w ten sposób pierwiastek jest liczbą wymierną, czy niewymierną: – jest liczba niewymierna, gdyż dla pierwiastka z sześciu istnieje nieskończone rozwinięcie dziesiętne.
– wykonujemy tu te same kroki co przedtem, czyli zapisujemy pod jednym pierwiastkiem i obliczamy . Powstały pierwiastek można obliczyć i wyjdzie nam wynik równy 5, co daje nam liczbę wymierną.
– tu także jest ten sam schemat postępowania, jak w przypadku pozostałych dwóch przykładów. Zapisujemy pod jednym pierwiastkiem i obliczamy . Jest to liczba wymierna, gdyż pierwiastek z szesnastu daje nam wynik 4.
– w tym przypadku mamy do czynienia z dodatkową liczbą całkowitą, stojącą przy pierwiastku. Takie działanie rozwiązuje się w następujący sposób – pierwiastki mnożymy tak jak we wcześniejszych przykładach, zapisując wynik pod jednym pierwiastkiem, a liczby całkowite mnożymy ze sobą osobno, zapisując później wynik ich iloczynu przy wyniku iloczynu pierwiastków. Powstaje nam więc i . Zapisujemy to działanie w następujący sposób . Wynik to , co jest liczbą niewymierną, gdyż pierwiastek z dziesięciu, ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne (w tym przypadku, kiedy 8 stoi przed pierwiastkiem, można sobie mówić, że mamy osiem takich pierwiastków, a każdy z nich jest i tak niewymierny). Może pojawić się też pytanie dlaczego , a nie . Obie formy są poprawne, jednak pierwsza jest po prostu trochę krótszą formą drugiej. Gdy mamy znak mnożenia między liczbą całkowitą, a pierwiastkiem, to możemy znak ten pominąć.
– jest to przykład podobny do poprzedniego. Mamy tu przy pierwiastkach liczbę całkowitą, więc stosujemy te same kroki co przedtem. Mnożymy liczby całkowite osobno i pierwiastki osobno . Wynik wyjdzie nam . Jednak to nie koniec – pierwiastek można zamienić na liczbę całkowitą, przez co otrzymamy , czyli . Tak więc jest to liczba wymierna.
Uwagi! Mnożąc ze sobą dwa takie same pierwiastki, zawsze w wyniku otrzymamy liczbę wymierną, która równa jest liczbie, stojącej pod pierwiastkiem tych liczb niewymiernych, na przykład: bo . Przed pierwiastkiem zawsze stoi liczba całkowita, jeśli nie jest ona zapisana, to znaczy, że jest to 1, na przykład: to tyle samo co . Cyfry jeden się po prostu nie pisze przy pierwiastkach.

USUWANIE NIEWYMIERNOŚCI Z MIANOWNIKA
W zadaniach często możemy spotkać się z pierwiastkiem, który znajduje się w mianowniku. Aby więc wynik wyglądał bardziej przejrzyście i ładniej, trzeba pozbyć się pierwiastka z mianownika. Aby to zrobić, należy pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez pierwiastek, znajdujący się w mianowniku, na przykład:
= =
Mnożymy przez ten sam pierwiastek, który stoi w mianowniku, ponieważ jest to pewne, że mnożąc dwa takie same pierwiastki otrzymamy liczbę wymierną, oraz mnożymy zarówno licznik jak i mianownik, ponieważ po rozdzieleniu na dwa ułamki wyjdzie nam działanie . Jak widać jest równy 1. Wyciągając wnioski: mnożymy zarówno licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek, ponieważ działa to tak samo, jakbyśmy mnożyli przez 1, przez co nie zmieniamy wartości całego ułamka.

Przy ułamku, gdzie w mianowniku mamy dodatkowo dodawanie lub odejmowanie dwóch liczb, gdzie przynajmniej jedna jest niewymierna, należy pomnożyć zarówno licznik jak i mianownik przez to, co znajduje się w mianowniku, ale ze zmienionym znakiem pomiędzy dwoma składnikami, na przykład:
= = = =
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, mnożymy nasz ułamek z niewymiernością w mianowniku przez 1 w postaci , czyli wartość z mianownika ze zmienionym znakiem w środku. Dlaczego ze zmienionym? Ponieważ kiedy zmienimy znak w środku, to pierwiastki z mianownika skrócą się i pozostanie jedynie liczba wymierna.