Sinus cosinus

Sinus kąta ostrego:
-> sinusem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej:

sin =
 Przykład 1: 
Wyznacz wartość sinusa kąta BAC, w trójkącie ABC o przyprostokątnych IABI=3 i IBCI=4.
Krok 1: Oblicz długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
IACI= = 5
sin BAC= =45
Przykład 2:
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, o przyprostokątnej IACI= i sinusie kąta ABC równym . Wyznacz obwód tego trójkąta.

Obw= 13+
2. Sinus dowolnego kąta:
Jak wyznaczyć wartość sinusa dowolnego kąta?
Przykład 3:
Dany jest trójkąt ABC o kącie prostym przy wierzchołku C, gdzie A=(-1,4), B=(6,0). Wyznacz sinus kąta AOC, gdzie O jest początkiem układu współrzędnych.
Krok 1: Zaznacz dane punkty w układzie współrzędnych:

Krok 2: Oblicz długość odcinka IAOI.

Krok 3: Oblicz sinAOC, wiedząc, że sin =

3.Wartość funkcji sinus wybranych kątów:
sin30o= 0,5
sin60o=
sin90o= 1
sin0o= 0
sin45o=
4.Wybrane wzory redukcyjne dla sinusa:
Przykład 4:
Oblicz wartość sinusa kąta 120o, 210o oraz 330o.
Krok 1: 
Określ, w których ćwiartkach układu współrzędnych leżą podane kąty i określ znak sinusa w tych ćwiartkach. Może pomóc Ci wierszyk: “W pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.”
Ćwiartka I – (0o,90o)
Ćwiartka II – (90o,180o)
Ćwiartka IIII – (180o-270o)
Ćwiartka IV -(270o-360o)

120o – ćwiartka II => sin120o>0
210o – ćwiartka III => sin210o<0
330o – ćwiartka IV => sin330o<0

Krok 2:
Skorzystaj ze wzorów redukcyjnych sin(180o– )=sin , sin(270o– )=-cos , sin(360o– )=- sin i oblicz wartość sinusa kątów.
sin120o= sin(180o-60o)=sin60o=
sin210o = sin(270o-60o)=-cos60o= –
sin330o=sin(360o-30o) = – sin30o= –
5.Wykres funkcji sinus i jego własności:
Funkcja sinus jest funkcją okresową, tzn. jej wartości powtarzają się cyklicznie.

(źródło – https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_okresowa#/media/Plik:Sin_proportional.svg)
Df= R
Zw=<-1,1>
T (okres) = 2k
Mz (miejsca zerowe) = 2k
6.Cosinus kąta ostrego:
-> cosinusem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej:

cos =
 Przykład 1: 
Wyznacz wartość sinusa kąta BAC, w trójkącie ABC o przyprostokątnych IABI=6 i IBCI=8.
Krok 1: Oblicz długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
IACI= =10
sin BAC= = 0,6
Przykład 2:
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, o kącie prostym przy wierzchołku C. Oblicz jego pole, wiedząc, że kąt CAB=60o, a IACI=10.

P= =50 j2
7. Cosinus dowolnego kąta:
Jak wyznaczyć wartość sinusa dowolnego kąta?
Przykład 3:
Dany jest trójkąt ABC o kącie prostym przy wierzchołku C, gdzie A=(-1,4), B=(6,0). Wyznacz cosinus kąta AOC, gdzie O jest początkiem układu współrzędnych.
Krok 1: Zaznacz dane punkty w układzie współrzędnych:

Krok 2: Oblicz długość odcinka IAOI.

Krok 3: Oblicz cos AOC, wiedząc, że sin =

8.Wartość funkcji cosinus wybranych kątów:
cos60o= 0,5
cos60o=
cos90o= 0
cos0o= 1
cos45o=
9.Wybrane wzory redukcyjne dla cosinusa:
Przykład 4:
Oblicz wartość cosinusa kąta 120o, 210o oraz 330o.
Krok 1: 
Określ, w których ćwiartkach układu współrzędnych leżą podane kąty i określ znak sinusa w tych ćwiartkach. Może pomóc Ci wierszyk: “W pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.”
Ćwiartka I – (0o,90o)
Ćwiartka II – (90o,180o)
Ćwiartka IIII – (180o-270o)
Ćwiartka IV -(270o-360o)

120o – ćwiartka II => cos120o<0
210o – ćwiartka III => cos210o<0
330o – ćwiartka IV => cos330o>0

Krok 2:
Skorzystaj ze wzorów redukcyjnych cos(180o– )=-cos ,cos(270o– )=-sin , cos(360o– )=cos i oblicz wartość cosinusa kątów.
cos120o= cos(180o-60o)=-cos60o= -0,5
cos210o = cos(270o-60o)=-sin60o= –
cos330o=cos(360o-30o) = cos30o=
10.Wykres funkcji cosinus i jego własności:
Funkcja cosinus jest funkcją okresową, tzn. jej wartości powtarzają się cyklicznie. Dodatkowo jest funkcją parzystą, co oznacza, że f(x)=f(-x) – symetria względem osi OY.

(źródło – https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_trygonometryczne#/media/Plik:Cos_proportional.svg)
Df= R
Zw=<-1,1>
T (okres) = 2k
Mz (miejsca zerowe) = /2 + k
11.Zależności pomiędzy sinusem i cosinusem kąta – jedynka trygonometryczna:
sin2 +cos2 =1
Przykład 1:
Wyznacz cosinus kąta , wiedząc, że sinus tego kąta jest równy i (90o, 180o)
( )2 + cos2 = 1
cos2 = 1 –
Icos I = i cos <0 => cos = –

Przykład 2:
Wyznacz wartości sinusa i cosinusa kąta ostrego , widząc, że sinus kąta jest trzy razy większy od cosinusa tego kąta.
3sin=cos
sin2 +cos2 =1
(3sin )2+sin2 =1
sin2 =
sin =
cos =

Mam nadzieję, że pojęcie sinusa i cosinusa nie jest już dla Ciebie takie straszne, a dla przećwiczenia spróbuj zrobić poniższe krótkie zadania 🙂
Zadanie 1:
Kąt jest kątem ostrym, a jego cosinus jest równy . Wyznacz wartość wyrażenia: (1-sin )(1+sin ).
Zadanie 2:
Czy istnieje kąt, którego sin = , a cos = ?
Zadanie 3:
Oblicz wartości cosinusa i sinusa kąta, do którego ramienia końcowego należy punkt P(-2,1).

Rozwiązania:
Ad. 1 (1-sin)(1+sin )=1-sin2 =cos2 =
Ad.2 + = 1 => nie istnieje
Ad.3 IOPI=
sin =
cos = –