Liczba odwrotna

Liczba odwrotna – co to jest? Po co nam jest potrzebna? Gdzie się ją wykorzystuje?
Liczba odwrotna to jest po prostu odwrócenie liczby do góry nogami, czyli zapisujemy sobie liczbę w postaci ułamka zwykłego i zamieniamy licznik i mianownik.
Zobaczmy jak działa to w praktyce. Poniżej znajduje się kilka przykładów.
liczba odwrotna to
liczba odwrotna to
liczba odwrotna to
Na tych przykładach możemy zobaczyć jak to działa. Jeśli chcesz otrzymać liczbę odwrotną, to zamień licznik i mianownik miejscem. Popatrzmy teraz na przykład drugi. Mamy zamienić licznik i mianownik miejscem, więc dlaczego nie napisałam kreski ułamkowej i 1 pod 2? Odpowiedź jest prosta. Nie zapisałam kreski ułamkowej i 1, ponieważ w takim przykładzie jest ona po prostu zbędna, nic nie zmienia, ponieważ i tak będzie to liczba 2. Oczywiście gdyby ktoś napisał kreskę ułamkową i 1, nie byłby to błąd. Możecie tak pisać, żeby wam się nie myliło, ale nie musicie tego robić. Z każdym innym przykładem, w którym w liczniku najpierw byłaby 1, a po odwróceniu byłaby w mianowniku, to nie musicie jej pisać.

Ważny jest również iloczyn liczb wzajemnie odwrotnych. On zawsze jest równy 1. Zobaczymy na przykład:
Często uczniowie mylą liczbę odwrotną z liczbą przeciwną. Jest to oczywiście spory błąd, ponieważ liczba przeciwna ma przeciwny znak, czyli jeśli mielibyśmy liczbę dodatnią, to liczba przeciwna do niej będzie liczbą ujemną, czyli z minusem.
Liczba odwrotna to odwrócenie liczby, zamiana licznika z mianownikiem.
Jak to zapamiętać?
Liczba przeciwna jak mówi nazwa musi mieć przeciwny znak.
Liczba odwrotna jak nazwa wskazuje musi być odwrócona.

Ćwiczenie 1.
Jaka jest odwrotność liczby 3?
Jak się za to zabrać, na początku zapisujemy liczby za pomocą ułamka, następnie zamieniamy licznik i mianownik.

Ćwiczenie 2.
Czy istnieje liczba odwrotna do liczby 1?
Ciężkie pytanie. Oczywiście, że istnieje jest to 1.
Jeśli zamienimy licznik z mianownikiem, to otrzymamy taką samą liczbę.

Ćwiczenie 3
Znajdź liczbę odwrotną do liczb: -10, 1, 3, 5.

Czy minus przed liczbą coś zmienia?
NIE. NIC NIE ZMIENIA. Postępujemy nadal tak samo.

Ćwiczenie 4.
Ile wynosi iloczyn liczb wzajemnie odwrotnych? Pokażę to na przykładzie.
Iloczyn liczb wzajemnie odwrotnych zawsze jest równy 1.

Ćwiczenie 5.
Znajdź liczbę odwrotną do
Zapisujemy to w postaci ułamka, a następnie zamieniamy miejsce licznika z mianownikiem. Tutaj jednak zadanie na tym się nie kończy, Musimy jeszcze wyciągnąć niewymierność z pierwiastka. Jak to zrobić? Czy jest to takie trudne jak brzmi? Nie jest. Wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez . Jak już wiemy, , ponieważ
liczba odwrotna to
Teraz usuwamy niewymierność:
.

Dla poćwiczenia zrobimy jeszcze kilka zadań z usuwaniem niewymierności:

Ćwiczenie 6.
Znajdź liczbę odwrotną do
Zapisujemy to w postaci ułamka, a następnie zamieniamy miejsce licznika z mianownikiem. Tutaj jednak zadanie na tym się nie kończy, Musimy jeszcze wyciągnąć niewymierność z pierwiastka.
liczba odwrotna to
Usuwamy niewymierność z mianownika:

Ćwiczenie 7.
Znajdź liczbę odwrotną do .
To zadanie jest zdecydowanie trudniejsze niż poprzednie, ale damy sobie z nim radę. Schemat postępowania jest taki sam jak wcześniej. To dlaczego jest trudniejsze od poprzednich? Ze względu na to, że musimy tutaj wykazać się troszeczkę większą wiedzą matematyczną. Będziemy tutaj potrzebować wzorów skróconego mnożenia, które mówi .
liczbą odwrotną po zamianie licznika z mianownikiem będzie
Tutaj również musimy usunąć niewymierność z naszego mianownika. To właśnie w tym momencie będzie najtrudniejsza część naszego zadania. Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia napisanym powyżej musimy usunąć niewymierność, czyli jeżeli w mianowniku będzie to musimy pomnożyć to przez . Mnożymy więc i licznik i mianownik przez
, ponieważ

, my mamy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia minus pomiędzy i , dlatego jest -9.
8 – 9 = -1
Teraz musimy z mianownika usunąć -1, czyli musimy pomnożyć cały ułamek przez -1, zmieniają się więc wszystkie znaki, czyli jeżeli mamy + to zmieniamy znak na -.

Ćwiczenie 8.
Znajdź liczbę odwrotną do .
Schemat postępowania jest taki sam jak w zadaniach wyżej.
Najpierw musimy zamienić na liczbę odwrotną, czyli będzie to .
Teraz musimy usunąć niewymierność z naszego mianownika, czyli tak jak w zadaniu powyżej musimy i licznik i mianownik pomnożyć przez .
.
Jak widzimy te zadania nie są bardzo trudne, musimy tylko wiedzieć co i kiedy przez coś pomnożyć.

ćwiczenie 9.
Znajdź liczbę odwrotną do .
Liczba odwrotna to .
Teraz usuwamy niewymierność z mianownika, czyli mnożymy i licznik i mianownik przez
.

Reasumując, żeby otrzymać liczbę odwrotną, odwracamy ją, zamieniamy miejscem licznik i mianownik, jeżeli w zadaniu w mianowniku mamy to musimy usunąć niewymierność, czyli licznik i mianownik pomnożyć przez ten .

WAŻNE:
liczba odwrotna to nie to samo co liczba przeciwna.
liczba odwrotna to odwrócona liczba do góry nogami
liczba przeciwna, czyli taka, która ma zmieniony znak, zamiast + jest – i odwrotnie, zamiast – jest +