Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo jest to działanie, które ukazuje nam jaka część wszystkich przedmiotów, rzeczy w jakiejś sytuacji stanowią interesujące nas wyniki, czyli wyniki, które chcemy uzyskać. Jest to znaczenie bardziej prostsze. W znaczeniu matematycznym oznacza częstotliwość występowania zdarzenia lub rzeczy w określonej sytuacji. Prawdopodobieństwo uzyskujemy gdy podzielimy liczbę interesujących nas wyników, przez ogólną liczbę zdarzeń. Prawdopodobieństwo możemy uznać za rzecz czysto teoretyczną. Bazuje ono na kombinatorce, czyli na wszystkich możliwościach w danej sytuacji.
Prawdopodobieństwo obliczamy ze wzoru:
P=
gdzie:
P- prawdopodobieństwo
A- ilość interesujących nas zdarzeń
B- ilość wszystkich możliwości
Lecz bardziej naukowy wzór jest taki:
P(A)=
gdzie:
P(A)- prawdopodobieństwo
|A|- interesujące nas wyniki
|Ω|- wszystkie możliwości
Prawdopodobieństwo przedstawiamy w najczęściej w formie ułamka nieskracalnego (i jest on najczęściej większy od 0, ale mniejszy od 1) lub jako procenty[%] (rzadziej promile[%0])
Gdy obliczone prawdopodobieństwo wyniesie:
równe 0- zdarzenie jest niemożliwe
między 0, a 1- zdarzenie ma szanse zaistnieć, ale nie jest pewne, że zdarzy się za każdym razem
Równe 1- zdarzenie pewne, zdarzające się zawsze
Choć w definicji nie ma podanego, że ogólny wynik prawdopodobieństwa musi być maksymalnie równy 1, więc może być na przykład wynik 8, własność ta wynika z wniosków wyciągniętych prosto z definicji i doświadczenia/wyobrażenia, czyli- wyobraźmy sobie, że losujemy liczbę całkowitą od 1 do 100 i naszym zadaniem jest wylosować liczbę całkowitą dodatnią mniejszą np.: od 150, ogółem liczb takich jest 149 (1-149) lecz mamy tylko liczby od 1 do 100, więc interesują nas tylko liczby od 1 do 100 (czyli te podane w zadaniu), a nie wszystkie możliwości. Z tego też można wyciągnąć taki wniosek, że liczba wszystkich interesujących nas wyników zawsze musi być mniejsza lub równa od wszystkich możliwości.
Mimo że tego nie zauważamy, to prawdopodobieństwo zawsze nam towarzyszy na każdym kroku, np.: w kasynie przy grze w pokera- najlepszą talią są 4 asy, lecz w talii do gry w pokera występuje aż 52 karty, więc 4 asy w jednej talii zdarzają się rzadko (wylosujemy średnio 1 asa na 16 kart.
Z podanego przykładu, wynika, że prawdopodobieństwo wykorzystujemy przeważnie podczas hazardu, ale nie tylko. Z prawdopodobieństwem mamy do czynienia również w grach, ale pod inna postacią: pod postacią częstotliwości.
Żeby to wam bardziej przedstawić, weźmy taką grę jak Minecraft: najbardziej pożądanym tam surowcem jest diament, bo za pomocą niego można zdobyć najlepsze itemy, lecz przejdźmy do tej częstotliwości jako skarby w skrzyniach. diamenty mają szanse na wystąpienie np.: w statku endu i mieście endu, gdzie prawdopodobieństwo wynosi 21,5% (czyli z tam występuje z częstotliwością 1 na 5 skrzyń).
Prawdopodobieństwo ma też związek z czymś innym- ze szczęściem. Wyobraźmy sobie, że losujemy jedną piłkę z worka, gdzie znajduje się w sumie 6 piłek- załóżmy, że znajdują się tam 2 piłki koloru białe i 4 piłki koloru czarnego. Najbardziej interesują nas piłki białe, których wylosowanie (prawdopodobieństwo wylosowania) wynosi , czyli występują z częstotliwością 1 biała piłka na 3 piłki czarne (1/3). Niestety, ale losując piłki 6 razy (zakładając, że losujemy piłkę z zamkniętymi oczami oraz wylosowaną wrzucimy piłkę z powrotem do worka i wymieszamy piłki w worku) możemy wylosować, np.: 1 raz piłkę białą i 5 razy piłkę czarną, z prawdopodobieństwa wynika, że powinniśmy wylosować, aż 2 piłki białe, lecz myśmy losowali, zawsze z tego samego worka z tymi samymi piłkami, więc z tego można wnioskować, że prawdopodobieństwo pokazuje nam średni wynik, bo zależy ono głównie od szczęścia.
Po lewej mamy przykładowe zadanie z prawdopodobieństwa. Teraz wyjaśnię krok po kroku jak najlepiej robić zadania tego typu:
Krok 1.: czytamy uważnie zadanie i szukamy w zadaniu kryteriów (warunków), które muszą spełnić nasze szukane ( interesujące nas wyniki).
Krok 2.: wypisujemy wszystkie możliwe wyniki (Choć lepiej jest to zrobić za pomocą kombinatorki, lecz trzeba przy tym zważać, czy przypadkiem w zadaniu nie ma napisanego, że np.: przy wylosowaniu, odrzuca się wylosowaną rzecz)
Krok 3.: wypisujemy wszystkie interesujące nas wyniki (można to zrobić na wiele sposobów, np.: za pomocą tabeli lub po prostu wypisujemy wszystkie możliwości)
Krok 4.: Podstawiamy dane do wzoru ( przypomnę- P= [objaśnienia skrótów są wcześniej])
Krok 5.: obliczmy prawdopodobieństwo i przedstawiamy w formie ułamka nieskracalnego.
Krok 6.: piszemy odpowiedź na zadanie/ zaznaczamy poprawną odpowiedź.
Teraz poćwiczmy na kilku przykładach:
Ćwiczenie 1:
W wazonie znajduje się 10 tulipanów pomarańczowych, 15 tulipanów czerwonych i 20 żonkili. Z zamkniętymi oczami wybieramy 2 dowolne kwiaty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy:
a) jednego tulipana czerwonego
b) jednego tulipana pomarańczowego
c) jednego żonkila
Odpowiedzi:
a) liczba interesujących nas wyników: 15
wszystkie możliwe wyniki: 10+15+20= 45
rozwiązanie: =
Odp: Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonego tulipana wynosi
b) liczba interesujących nas wyników: 10
wszystkie możliwe wyniki: 10+15+20= 45
rozwiązanie: =
Odp: Prawdopodobieństwo wylosowania pomarańczowego tulipana wynosi
c) liczba interesujących nas wyników: 20
wszystkie możliwe wyniki: 10+15+20= 45
rozwiązanie: =
Odp: Prawdopodobieństwo wylosowania żonkila wynosi
Pamiętaj, by przy zadaniach tego typu (z osobnymi obliczeniami w podpunktach) zwróć uwagę o co pytają, bo może być to w innej kolejności

Ćwiczenie 2
Damian uczęszcza do kółka szachowego, które liczy wraz nim 24 osób. Niedługo ma się odbyć turniej szachowy w którym weźmie udział tylko 50% uczestników kółka w tym Damian. Każdy z uczniów, będzie losował przeciwnika i sędziego (osoby wylosowane nie biorą już udziału w losowaniu, a ich imię jest odkładane). Jakie jest prawdopodobieństwo, że Damian wylosuje najpierw Andżelikę, później Macieja? Załóżmy, że Damian losuje pierwszy.
Odpowiedź:
liczba interesujących nas wyników: 2
wszystkie możliwe wyniki: 24 * = 12 (50%= )
Wylosowanie Andżeliki:
Wylosowanie Macieja: =
Odp.: Prawdopodobieństwo wylosowania Andżeliki w pierwszym losowaniu wynosi , a wylosowanie Macieja w drugim losowaniu wynosi .

A co by było gdyby losowaliśmy parami (kolejność nie ma znaczenia)? Wtedy trzeba by było skorzystać z kombinatorki.
Liczba interesujących nas wyników: 1 (Andżelika- Maciej, Maciej- Andżelika, jest to bez znaczenia, bo jest to to samo)
Wszystkie możliwe wyniki- = = 66
Rozwiązanie:
Odpowiedź: Wylosowanie Andżeliki i Macieja w dowolnej kolejności wynosi

Do obliczenia ogólnego prawdopodobieństwa dla wielu wyników można użyć też metody drzewka, polegających na wypisaniu wszystkich możliwości i ich następstwach. Metodę drzewka przedstawię w następnym zadaniu:

Zadanie przykładowe:
Na stole leżą dwa worki, a w każdym z nich znajdują się 2 kule białe, 3 kule czarne i 3 kule zielone. Z worków losujemy jedną kulę, lecz za nim to zrobimy, za pomocą monety losujemy który worek. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej po wyrzuceniu reszki?
1.Sposób
Zastosujemy metodę drzewka:

rzut monetą
/
orzeł reszka
/

/ | / |
kula: z b cz z b cz
| | | | | |

Rozwiązanie
interesuje nas wylosowanie kuli białej po wyrzuceniu reszki, więc trzeba je pomnożyć:
= =
Odp.: Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej po wyrzuceniu reszki, wynosi
2. Sposób
Za pomocą znanego nam sposobu
Liczba interesujących nas wyników w rzucie monetą: 1
Wszystkie możliwości w rzucie monetą: 2
Liczba interesujących nas wyników w losowaniu kuli: 2
Wszystkie możliwości w losowaniu kuli: 8
Rozwiązanie:
= =
Odp.: Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej po wyrzuceniu reszki, wynosi

W obu przypadkach mnożyliśmy oba prawdopodobieństwa ze względu, że musieliśmy (w zadaniu) uzyskać konkretną kulę w konkretnym rzucie monetą, dlatego musieliśmy pomnożyć obie wartości. Obie metody działają i dają ten sam wynik, ale według mnie bardziej skuteczna, w zadaniach tego typu, jest metoda drzewka ze względu na to, że widać wszystkie możliwości i łatwość w przemieszczaniu się po wynikach, które doprowadzą nas/mnie/was do odpowiedzi.

Uwaga!
Przy zadaniach, gdzie chcesz skorzystać z metody drzewka pamiętaj o odpowiedniej ilości rozgałęzień oznaczających różne możliwości.

Ćwiczenie 3
Joasia losuje z worka w którym znajdują się 2 piłki czerwone i 3 piłki niebieskie. Jeśli Joasia wylosuje piłkę czerwonego, losuje kolejną piłkę z drugiego worka w którym znajdują się 3 piłki czarne, 2 białe i 3 granatowe. Jednak jeśli wylosuje piłkę niebieską, Joasia losuje kolejną piłkę z trzeciego worka w którym znajdują się 2 piłki białe, 4 granatowe i 2 piłki czarne. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania piłki czarnej w obu przypadkach.

Odpowiedź:
Przy takim zadaniu warto skorzystać z metody drzewka, bo korzystając z drugiego sposoby można się zgubić

pierwsze losowanie
/
piłka czerwona (1) niebieska (2)
| |

/ | / |
piłka cz b g b g cz
| | | | | |

Rozwiązanie:
Wynik 1: = =

Wynik 2: = =

Odp.: W obu przypadkach prawdopodobieństwa wynosi

Koniec