Algebra

Podejrzewam, że wielu z Was spotkało się z pojęciem ,,algebra”. Dziś postaram się omówić to zagadnienie krok po kroku.
Właśnie, zacznijmy od podstawowego pytania: Czym jest algebra?
Można nazwać ją po prostu pewnym działem w matematyce. Co ciekawe, jest ona jednym z najstarszych. Algebra zajmuje się prowadzeniem działań w obszarze bardziej rozległym niż liczby, tzn. algebra ,,dodaje” do matematyki litery, które w przypadku tej dziedziny matematyki są oznaczeniem zmiennej. Zmienna to wielkość, która może przyjmować różne wartości. Aby lepiej zobrazować czym jest, przedstawię jej przeciwieństwo-stałą. Stała to wielkość, która-jak sama nazwa mówi-jest stała. Przykładowo liczba 1 oznacza po prostu 1 i taka wartość utrzymuje się zawsze. Gdy piszemy 1, mamy na myśli konkretną liczbę. Natomiast w przypadku zmiennych jest inaczej. Weźmy pod lupę prostą nierówność:
a>11
Jak możemy zauważyć, a musi być liczbą większą od 11, czyli nie musi być żadną konkretną: może być to liczba 13, 1000, 2045, albo nieskończenie wiele innych liczb.
W algebrze mamy do czynienia z jednomianami oraz wielomianami. Jednomiany są to liczby połączone z literami znakiem mnożenia, np.
5x
1/2a
b
W każdym jednomianie występuje współczynnik liczbowy, czyli po prostu liczba. Jeśli nie jest on zapisany, tak jak w przypadku jednomianu b, wynosi on 1. Wynika to z tego, że 1b=b. Tak jak wcześniej wspomniałam, mamy także wielomiany. Wielomian to inaczej suma algebraiczna lub suma jednomianów. Co ciekawe, jednomiany także są wielomianami. Są to po prostu jednomiany połączone znakiem dodawania lub odejmowania.
Wielomiany należą do wielkiej, wspólnej definicji wyrażeń algebraicznych. Wyrażenie algebraiczne to po prostu liczby i litery połączone różnymi znakami działań. Przykłady wyrażeń algebraicznych to:
5a
70c2
8b-2
9d-17e+5
f2+t3
Aby lepiej przedstawić czym są wyrażenia algebraiczne, zapiszę ich kilka łatwych przykładowych nazw słownych:

a+b to suma liczb a i b
3c to potrojona liczba c
d/e to iloraz liczby d i e

To właśnie te łatwiejsze przykłady, z którymi problemy zdarzają się rzadko. Jednakże zapisywanie nazw słownych, szczególnie tych trudniejszych, często sprawia problemy. Oto kilka przykładów trudniejszych nazw:

a3-0,5b2 to różnica sześcianu liczby a i połowy kwadratu liczby b
(a−b)(a+b) to iloczyn różnicy liczb a i b oraz sumy liczb a i b

Jednak jak do tego dojść? Mimo wszystko to bardzo proste. Należy przypomnieć sobie kolejność wykonywania działań:
działania w nawiasach
pierwiastkowanie oraz potęgowanie
mnożenie i dzielenie
dodawanie i odejmowanie
Gdy już ją znamy, możemy przejść do tworzenia nazw. Nazwa zawsze zaczyna się od ostatniego wykonywanego działania. Tak jak w pierwszym przykładzie wyżej, na początku znajduje się różnica, ponieważ odejmowanie wykonujemy na końcu.
Jednak cofnijmy się jeszcze do jednomianów-przy rozwiązywaniu wszelkich zadań związanych z algebrą, warto uporządkować jednomiany, czyli zapisać je w określonej formie: zaczynamy od współczynnika liczbowego, a potem zapisujemy litery w kolejności alfabetycznej. Jednak zanim to zrobimy, trzeba wspomnieć także o wyrazach podobnych, inaczej jednomianach podobnych. Są to jednomiany, które różnią się tylko współczynnikami liczbowymi, a oto kilka przykładów:

5x, x, 14x, 1/2x to wyrazy podobne, ponieważ wszystkie mają taką samą część złożoną z liter.
3x2, 4x, 15x3, 14xy to nie wyrazy podobne, ponieważ ich części literowe się różnią.

Aby dodawać jednomiany, muszą być one wyrazami podobnymi, np.

3x2+2y+4y=3x2+6y ponieważ wyrazy, które możemy ze sobą dodać zawierają część literową y

Ważną kwestią jest także obliczanie wartości liczbowej danego wyrażenia. Weźmy pod lupę wyrażenie 5a-4b. Teraz obliczmy jego wartość liczbową dla a=6 i b=3. Oznacza to, że pod a mamy podstawić liczbę 6, a pod b liczbę 3. Spróbujmy zatem:
5*6-4*3=30-12=18

Konieczną umiejętnością jest także mnożenie wyrażeń algebraicznych. Sposób na to przedstawiłam na poniższym rysunku używając strzałek

Jak widać na rysunku, należy przemnożyć każdy wyraz z każdym. Czasami przydadzą się do tego wzory skróconego mnożenia, które przedstawię poniżej. Warto wiedzieć, że są one przydatne zawsze, nie tylko w algebrze.

(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab-b2
a2-b2=(a-b)(a+b)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3

Algebra jest kluczem do rozwiązywania równań-w końcu równanie z definicji jest dwoma wyrażeniami algebraicznymi połączonymi znakiem równości. Należy pamiętać, że do stosowania algebry trzeba nauczyć się ,,myślenia do tyłu”. Przykładowo, wyobraźmy sobie, że musimy do liczby 5 dodać liczbę 8. Proste, 5+8. Zastosowaliśmy myślenie do przodu, bo wiedzieliśmy co się stało (dodawanie) i mogliśmy podać skutek (wynik dodawania). Jednak o co chodzi z myśleniem do tyłu? Wyobraźmy sobie, że musimy odpowiedzieć na pytanie: Co trzeba dodać do liczby 5, aby uzyskać wynik 13? Musimy tu pomyśleć w tył, ponieważ mamy podaną cząstkę wydarzenia (pierwszy składnik dodawania) oraz skutek (wynik), a więc musimy znaleźć drugą część ,,wydarzenia”.

5+x=13
x=13-5
x=8
Tym sposobem dobiegliśmy do końca. Mam nadzieję, że to podsumowanie algebry oraz wstęp do wykonywania równań
pomoże Wam opanować ten dział.