Opracowanie:
Sześcian sumy
Sześcian sumy
Sześcian sumy
Jednym z powszechnie używanych w matematyce wzorów skróconego mnożenia jest sześcian sumy, który możemy przedstawić wzorem:
Podnosząc do 3 potęgi sumę dwóch liczb, podnosimy najpierw pierwszą z nich do potęgi trzeciej (a3), następnie dodajemy potrojony iloczyn kwadratu pierwszej z nich pomnożony przez drugą liczbę (3a2b), potrojony iloczyn pierwszej z nich przemnożony przez kwadrat drugiej (3ab2), a na koniec podnosimy drugą z nich do 3 potęgi (b3).
Spójrzmy skąd wziął się każdy ze składników naszej sumy:
)
Poćwiczmy teraz obliczanie kwadratu sumy na konkretnych przykładach:
Zad. 1
Oblicz:
1)
2)
3)
4)
5)
Zad. 2
Zapisz w jak najprostszej postaci:
1)
2)
3)
4)
5)
Zad. 3
Wykaż, że liczba jest liczbą całkowitą.
Zad. 4
Wykaż, że jeśli a i b są liczbami rzeczywistymi takimi, że , to .
Odpowiedzi:
Zad. 1
1)
2)
3)
4)
5)
Zad. 2
1)
2)
3)
4)
5)
Zad. 3
Oznaczmy liczbę 2023 jako x.
2023= x
2022= x-1
2024= x+1
A więc, stosując wzory skróconego mnożenia do potęgi drugiej, a następnie do potęgi 3:
Liczba 2023 jest liczbą całkowitą, a więc nasz warunek jest spełniony.
ckd.
Zad. 4
Wiedząc, że zapiszmy, że , a więc:
ckd.