Ciągi wzory

INFORMACJE OGÓLNE:
Wyróżniamy dwa rodzaje ciągów – ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
Można określić monotoniczność ciągów, czyli wyznaczyć czy ciąg jest: -> rosnący (an+1 > an); -> malejący (an+1 < an); -> stały (an+1 = an)
Można również określić czy ciąg jest: -> niemalejący (an+1 ≥ an); -> nierosnący (an+1 ≤ an)
Mogą one zostać również podzielone na ciągi skończone i nieskończone: -> przykład skończonego ciągu: {1, 3, 5, 7, 9}; -> przykład ciągu nieskończonego: {2, 3, 5, 7, 11, 13, … }.

CIĄG ARYTMETYCZNY

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym kolejne wyrazy różnią się od siebie daną wartością r (różnicą).

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego zapisuje się jako an = a1 + (n – 1) * r, gdzie a1 to pierwszy wyraz ciągu, r jest określane jako różnica ciągu arytmetycznego, a n oznacza liczbę wyrazów we wzorze. Należy jednak pamietać, że n nie może być ujemne, jako zalicza się do zbioru liczb naturalnych dodatnich – n N+.
Przykład użycia wzoru an = a1 + (n – 1) * r:
a1 = 1; n = 3; r = 1

a3 = 1 + (3 – 1) * 1
a3 = 1 + 2 * 1
a3 = 3

Wzór ten można również używać w celu znalezienia wartości innych elementów składających się na wzór na ciąg arytmetyczny, na przykład różnych danego ciągu.
Przykład:
an = 10; a1 = 1; n = 4

10 = 1 + (4 – 1) * r /-1
9 = 3 * r / :3
3 = r

Różnica oznacza, że każdy kolejny wyraz ciągu arytmetycznego będzie się różnił od poprzedniego o wartość r. Oznacza to więc zarówno to, że siódmy wyraz ciągu będzie równy sumie r i szóstego wyrazu ciągu arytmetycznego, jak i to, że wyraz ten będzie równy sumie pierwszego wyrazu i sześciu wartości r. Można to zobrazować w poniższe sposoby:
a7 = a6 + r
a7 = a1 + 6 * r

Przy rozwiązywaniu zadań może się również okazać przydatny wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, zapisywany w taki sposób: Sn = * n. Jest on stosowany, gdy należy obliczyć sumę kolejnych wyrazów ciągu.
Przykład:
an = 18; a1 = 3 ; n = 6

Sn = * 6
Sn = 10,5 * 6
Sn = 63

CIĄG GEOMETRYCZNY

Ciąg geometryczny to ciąg liczb, w którym każdy kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego i q (ilorazu).

Wzór na postać ogólną ciągu geometrycznego to: an = a1 * q n – 1, w którym a1 i n oznaczają to samo co w przypadku ciągu arytmetycznego, czyli kolejno pierwszy wyraz ciągu i liczbę wyrazów danego ciągu. Natomiast w tym wzorze, zamiast r pojawia się q, czyli iloraz ciągu geometrycznego.

Wzór an = a1 * q n – 1 można zastosować w poniższy sposób, aby ustalić wartość danego wyrazu:
a1 = 2; n = 3; q = 2

an = 2 * 2 3 – 1
an = 2 * 4
an = 8

Podobnie jak z innymi wzorami, ten wzór może być przekształcony i użyty do znalezienia innych wartości.
Przykład:
an = 27; a1 = 1; n = 4

27 = 1 * q4 – 1
27 = q3
q3 = 33
q = 3

Iloraz w ciągu geometrycznym oznacza, że każdy następny wyraz jest ilorazem poprzedniego i q, więc siódmy wyraz ciągu arytmetycznego będzie ilorazem szóstego wyrazu i q. Jednak, w odróżnieniu od różnicy w ciągu arytmetycznym, w ciągu geometrycznym nie można powiedzieć, że siódmy wyraz to iloraz wyrazu pierwszego i sześciu q. W tym przypadku należy to przedstawić jako iloraz pierwszego wyrazu i wartości q do potęgi 6. Podane przykłady można przedstawić w poniższy sposób:
a7 = a6 * q
a7 = a1 * q6

Wzór na sumę kolejnych wyrazów początkowych może być przedstawiony na dwa sposoby, w zależności od tego, jaka jest wartość q. Pierwszy wzór, który zdecydowanie częściej się pojawia, używany jest wtedy, gdy q nie wynosi 1, czyli gdy q ≠ 1. Zapisywany jest w taki sposób: Sn = a1 * .
Przykład użycia:
a1 = 5; q = 2; n = 3

Sn = 5 *
Sn = 5 *
Sn = 5 * 7
Sn = 35

Drugi wzór to Sn = a1 * n, używa się go gdy q jest równe 1, czyli q = 1.
Przykład użycia:
a1 = 6; n = 8

Sn = 6 * 8
Sn = 48

Tabelka wzorów: