Metoda przeciwnych współczynników

W szkole średniej uczniowie spotykają się z nowym pojęciem. Układ równań. Czym właściwie jest?
Wyobraźmy sobie 2 równania, na przykład:

*symbol ,,” w matematyce czytamy jako ,,i”.
Jeżeli para liczb i spełnia jednocześnie oba powyższe równania, to w celu podkreślenia tego faktu, zamiast znaku ,,i” zapisujemy oba działania w tzw. ,,klamrze”, czyli układzie równań:
Każdą parę (x,y), która jednocześnie jest rozwiązaniem obu równań (spełniającą oba równania), nazywamy rozwiązaniem układu tych równań.
Zapiszmy definicję w sposób precyzyjny. Układem równań nazywamy koniunkcję (czyli połączenie co najmniej dwóch zdań spójnikiem logicznym ,,i”) równań (minimalnie dwóch).

Zanim przejdziemy do sedna tematu, warto bliżej zapoznać się z tematyką układów równań, ponieważ stanowią nieodzowny element algebry matematycznej i są ważnym narzędziem dla każdego matematyka.
Jakie są rodzaje układów równań?
Podobnie jak w równaniach, posiadamy trzy rodzaje:
*Układ oznaczony, czyli taki, którego rozwiązaniem jest jedna, konkretna para liczb,
przykładowo:
taki układ spełnia tylko jedna para liczb, oraz .
*Układ nieoznaczony (tożsamościowy), to taki, który posiada nieskończenie wiele rozwiązań
przykładowo:
po jego rozwiązaniu otrzymamy, że . To oznacza, że jest spełniony przez każdą liczbę rzeczywistą.
*Układ sprzeczny, czyli taki, który nie posiada rozwiązań
przykładowo:
po jego rozwiązaniu otrzymamy, że . Jest to oczywiście nieprawda, a więc zbiór jego rozwiązań jest pusty.

Zapoznaliśmy się z podstawowymi terminami, a więc możemy przejść do metod rozwiązywania.
Jedną z nich jest metoda przeciwnych współczynników, która jest tematem tej pracy. Zapoznajmy się z nią bliżej.

METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW
Przykładowo mamy rozwiązać poniższy układ równań:

dostrzegamy, że współczynniki przy naszej niewiadomej są liczbami przeciwnymi. Aby zredukować tę niewiadomą należy dodać oba równania.

Wyliczyliśmy niewiadomą . Niewiadomą możemy obliczyć podstawiając wyznaczoną wartość do wybranego równania.
Przykładowo do pierwszego:





Wyliczyliśmy . Możemy już stwierdzić, iż rozwiązaniem tego układu równań, który precyzyjniej nazwiemy oznaczonym jest para liczb i .
Można już zauważyć, że ta metoda skupia się na dodaniu równań stronami, w przypadku gdy przy tej samej niewiadomej w obu równaniach znajdują się przeciwne współczynniki liczbowe.
W celu dalszego utrwalenia wykonajmy podobny przykład.
Zauważamy, że możemy rozwiązać ten układ na dwa sposoby:
I- pomnożyć drugie równanie przez w celu uzyskania przeciwnych współczynników liczbowych przy niewiadomej ;
II- pozostawić go bez zmian, gdyż współczynniki przy niewiadomej są przeciwne.
*Dla przypomnienia: przy – współczynnikiem liczbowym jest jedynka, ale przyjęło się w matematyce, że jej nie piszemy.
Rozwiążmy więc ten układ równań przykładowo sposobem drugim:


Rozwiążmy typowe zadanie tekstowe, które wymaga użycia układów równań.
„Różnica między pewną liczbą dwucyfrową, a liczbą otrzymaną w wyniku przestawienia cyfr tej liczby wynosi 36. Suma tych liczb wynosi 110. Jakie to liczby?,,
źródło: Podręcznik do matematyki klasa 1 dla liceum ogólnokształcącego i technikum ,,MATeMAtyka” zakres podstawowy i rozszerzony
wyd. Nowa Era.
Cyfry liczby początkowej, to przyjmijmy: -cyfra dziesiątek, -cyfra jedności.
Można zapisać więc, że wartość liczbowa liczby początkowej wynosi .
Po przestawieniu: -cyfra dziesiątek, -cyfra jedności.
Wartość liczbowa liczby po zmianie: .
Z treści zadania można skonstruować poniższy układ równań:

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: i .
Zgodnie z przyjętymi niewiadomymi wnioskujemy, że szukanymi liczbami są 73 i 37.

Rozwiązywanie trzech układów równań z trzema niewiadomymi.
W przypadku rozwiązywania tego typu układów, należy znać metodę opisaną w krokach poniżej:
wybieramy jedno z trzech równań. Dowolną z niewiadomych wyznaczamy i otrzymane wyrażenie podstawiamy do dwóch pozostałych równań,
powstają dwa równania z dwiema niewiadomymi, które rozwiązujemy jako ,,standardowy” układ równań bądź jaką metodą (np. przeciwnych współczynników),
wyliczone już wartości dwóch niewiadomych wstawiamy do dowolnie wybranego równania początkowego i obliczamy wartość trzeciej niewiadomej.
Sprawdźmy jak działa to w praktyce:
przykładowy układ:

Rozwiązaniem tego układu równań jest trójka liczb: , , .

Omówiona metoda jest jedną z wielu. Układy równań można rozwiązywać także między innymi metodą podstawiania, eliminacji Gaussa czy wyznacznikami.