Wzory skróconego mnożenia do 3

Wzory skróconego mnożenia do 3
Wzory skróconego mnożenia to wzory, które pozwalają szybciej wykonywać obliczenia. Ułatwiają one obliczanie wyrażeń o postaciach:
(a +/- b)n
an +/- b)n
(a +/- b +/- c…)n, gdzie a, b, c… to liczby które potęgujemy, a n to potęga do której podnosimy liczby;
Trzeba pamiętać, że obydwie strony wzorów skróconego mnożenia są przemienne, czyli prawa strona równania może się zamienić z lewą stroną równania.
Wzory skróconego mnożenia do 3 to wszystkie takie wzory w których n jest mniejsze lub równe 3, czyli 2 lub 3;

Pierwszym wzorem którym się zajmiemy jest kwadrat sumy dwóch liczb:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, jest to suma dwóch liczb podniesiona do potęgi drugiej, czyli do kwadratu.
Wyprowadzenie wzoru:
(a + b)(a + b), przy mnożeniu dwóch nawiasów mnożymy wszystkie liczby z pierwszego nawiasu przez pierwszą liczbę drugiego nawiasu, następnie przez drugą liczbę drugiego nawiasu, więc najpierw mnożymy pierwszą liczbę pierwszego nawiasu – a przez pierwszą liczbę drugiego nawiasu – a, następnie drugą liczbę pierwszego nawiasu – b przez pierwszą liczbę drugiego nawiasu – a, potem pierwszą liczbę pierwszego nawiasu – a przez drugą liczbę drugiego nawiasu – b, następnie drugą liczbę pierwszego nawiasu – b przez drugą liczbę drugiego nawiasu – b, powstaje nam:
aa + ba + ab + bb = a2 + 2ab + b2

przykład 1
Oblicz:
a) (x + x)2 = x2 + 2x2 + x2 = 4x2
b) (x + 1)2 = x2 + 2x*1 + 12 = x2 + 2x + 1
c) (x + 3)2 = x2 + 2x*3 + 32 = x2 + 6x + 9
d) (x + 5)2 = x2 + 2x*5 + 52 = x2 + 10x + 25
e) (3x + x)2 = (3x)2 + 2*3x2 + x2 = 9x2 + 6x2 x2 = 16x2
f) (3 + x)2 = 32 + 2*3x + x2 = 9 + 6x + x2
g) (12x + 3)2 = (12x)2 + 2*12x*3 + 32 = 144x2 + 72x + 9
h) (7x + 12)2 = (7x)2 + 2*7x*12 + 122 = 49x2 + 168x + 144
i) (7 + 9x)2 = 72 + 2*7*9x + (9x)2 = 49 + 126x + 81x2
j) (1 + 5x)2 = 12 + 2*1*5x + (5x)2 = 1 + 10x + 25x2

Drugim wzorem jest kwadrat różnicy dwóch liczb:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2, jest on różnicą dwóch liczb podniesioną do kwadratu oblicza się go podobnie do kwadratu sumy;

przykład 2
a)(x – 1)2 = x2 – 2x*1 + 12 = x2 – 2x + 1
b)(x – 3)2 = x2 – 2x*3 + 32 = x2 – 6x + 9
c)(x – 7)2 = x2 – 2x*7 + 72 = x2 – 14x + 49
d)(3x – 5)2 = (3x)2 – 2*3x*5 + 52 = 9x2 -30x + 25
e)(7x – √2)2 = (7x)2 – 2*7x*√2 + (√2)2 = 49x2 – 14√2x + 2
f)(√x – 2)2 = (√x)2 – 2√x*2 + 22 = x – 4√x+ 4
g)( – 6)2 = [ ]2 – 2 *6 + 62 = 4x – 12 + 36
h)(4 – 8x)2 = 42 – 2*4*8x + (8x)2 = 16 – 64x + 64x2

Kolejny wzór to różnica kwadratów:
a2 – b2 = (a – b)(a + b), lub (a + b)(a – b), ponieważ mnożenie jest przemienne; jest to iloczyn sumy dwóch liczb i różnicy tych samych dwóch liczb, oblicza się go tak jak poprzednie wzory;

przykład 3
a)(x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – 4
b)(x – √3)(x + √3) = x2 – (√3)2 = x2 – 3
c)(7 – √x)(7 + √x) = 72 – (√x)2 = 49 – x
d)(x – 1)(x + 1) = x2 – 12 = x2 – 1
e)(√7 – 2x)(√7 + 2x) = (√7)2 – (2x)2 = 7 – 4x2
f)(4 – 2)(4 + 2) = 42 – 22 = 16 – 4 = 12

Następnym wzorem jest różnica sześcianów:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2), jest to różnica dwóch liczb, z których każda jest podniesiona do potęgi 3;

przykład 4
a)(x – 2)(x2 + 2x + 22) = x3 – 23 = x3 – 8
b)(1 – x)(12 + 1x + x2) = 13 – x3 = 1 – x3
c)(√3 – 2x)[(√3)2 + √3*2x + (2x)2] = (√3)3 – (2x)3 = – 8x3
d)(6x – 1)[(6x)2 + 1*6x + 12] = (6x)3 – 13 = 216x3 – 1
e)(√x – √3)[(√x)2 + √x*√3 + (√3)2] = (√x)3 – (√3)3 = –

Kolejna jest suma sześcianów:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2), jest to suma dwóch liczb, z których każda jest podniesiona do 3 potęgi, czyli do sześcianu;

przykład 5
a)(x + 2)(x2 – 2x + 22) = x3 + 23 = x3 + 8
b)(√3 + 2x)((√3)2 – 2x√3 + (2x)2) = (√3)3 + (2x)3 = 3√3 + 8x3
c)(3 + √x)(32 – 3√x + (√x)2) = 33 + (√x)3 = 27 + x*√x

Kolejnym wzorem jest ten, na sześcian sumy:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, czyli suma dwóch liczb podniesiona do potęgi trzeciej, tzn. do sześcianu;
przykład 6
a)(x + 3)3 = x3 + 3x23 + 3x*32 + 33 = 10x3 + 9x2 + 27x + 27
b)(√2 + 2x)3 = (√2)3 + 3(√2)22x + 3√2*(2x)2 + (2x)3 = 2√2 + 12x + 12√2x2 + 8x3
c)(√x + 1)3 = (√x)3 + 3√x21 + 3√x*12 + 13 = x√x+ 3x + 3√x +1
d)(2 + 3)3 = 23 + 3*223 + 3*2*32 + 33 = 8 + 36 + 54 + 27 = 125

Kolejnym wzorem jest ten, na sześcian różnicy:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3, czyli różnica dwóch liczb podniesiona do potęgi trzeciej, tzn. do sześcianu;

przykład 7
a)(x – 3)3 = x3 – 3x23 + 3×32 – 33 = x3 – 9x2 +27x – 27
b)(√2 – 2x)3 = (√2)3 – 3(√2)2(2x) + 3√2*(2x)2 – (2x)3 = 2√2 – 12x + 12√2x2 – 8x3
c)(√x – 1)3 = (√x)3 – 3√x21 + 3√x*12 – 13 = x√x – 3x + 3√x – 1 = (x + 3)√x – 3x – 1

Kwadrat sumy i kwadrat różnicy można zastosować również do większej ilości składników:
(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd, w takim równaniu po prawej stronie działania znajdują się kwadraty wszystkich liczb i podwojone iloczyny każdych dwóch różnych liczb;
(a + b – c + d) = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab – 2ac + 2ad – 2bc + 2bd – 2cd, kwadrat różnicy oblicza się tak samo jak kwadrat sumy;
(a + b + c + d)(a – b – c – d) = a2 – b2 – c2 – d2 – 2bc- 2bd – 2cd, różnicę kwadratów z większą ilością składników oblicza się odejmując od kwadratu pierwszej liczby kwadraty pozostałych liczb i odejmując podwojone iloczyny każdych dwóch liczb oprócz pierwszej;
(a – b – c)(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc) = a3 – b3 – c3 – abc – 2b2c – 2bc2, tak wygląda różnica sześcianów;
Pozostałe wzory z większą ilością składników oblicza się zgodnie z zasadą mnożenia nawiasów, czyli mnożąc każdą liczbę z pierwszego nawiasu przez każdą liczbę z drugiego nawiasu, a jeśli jest to wzór skróconego mnożenia z trzecią potęgą to wyniki trzeba przemnożyć przez każdą liczbę z trzeciego nawiasu.