Błąd względny

Błąd względny
Wstęp:
Błąd względny jest pojęciem bardzo powszechnym w dzisiejszym świecie. Nie da się go uniknąć podczas wykonywania rzetelnych pomiarów np. fizycznych, czy też chemicznych. Urządzenia używane przez ludzkość, pomimo coraz lepszej dokładności i precyzji, nie są w stanie w pełni wyeliminować błędu wykonywanego pomiaru. Osoba wykonująca dane badania pomiarowe musi więc zdawać sobie sprawę z niedoskonałości sprzętu i uwzględnić to przy interpretacji wyników obliczając błąd względny. Dopiero wtedy będzie tak naprawdę wiadomo jaki jest stopień niezgodności pomiędzy popełnianym błędem bezwzględnym (wynikającym z niedoskonałości sprzętu), a wartością rzeczywistą. Ale czym dokładnie jest błąd względny i jak się go oblicza? Żeby to zrozumieć musimy sobie najpierw przypomnieć czym jest błąd bezwzględny.

Błąd bezwzględny:
Błędem bezwzględnym nazywamy wartość bezwzględną z różnicy pomiędzy wartością rzeczywistą, a wartością przybliżoną. Prostszym językiem: mając do dyspozycji dwie wartości – przybliżoną i rzeczywistą – odejmujemy jedną od drugiej. Gdy wynik wyjdzie nam dodatni nie musimy robić nic więcej, gdy jednak wynik wyjdzie ujemny należy zmienić znak na plus, czyli po prostu pozbyć się minusa. Można skorzystać również z poniższego wzoru:
Błądbezwzgl = IWartrzecz – WartprzybI
Przećwiczmy teraz obliczanie błędu bezwzględnego na poniższym przykładzie.

Przykład 1:
Oblicz błąd bezwzględny przybliżenia liczby 67,23 do części dziesiątych.
Musimy policzyć błąd bezwzględny, czyli potrzebujemy wiedzieć jaka jest wartość rzeczywista liczby oraz jakie jest jej przybliżenie. Wartość rzeczywista liczby to po prostu 67,23 , więc pozostaje nam znaleźć przybliżenie tej liczby. W poleceniu napisane jest, że liczbę 67,23 przybliżono do części dziesiątych, czyli do pierwszego miejsca po przecinku. Liczba znajdująca się na drugim miejscu po przecinku to 3, a zatem będzie to przybliżenie z niedomiarem (3 < 5). Przybliżenie liczby 67,23 do części dziesiątych będzie zatem równe 67,2. Teraz możemy zabrać się za obliczanie błędu bezwzględnego, choćby za pomocą poznanego wzoru:
Błądbezwzgl = IWartrzecz – WartprzybI = I67,23 – 67,2I = I0,03I = 0,03
A zatem obliczony przez nas błąd bezwzględny wynosi 0,03.

Błąd względny:
Po krótkim przypomnieniu czym jest błąd bezwzględny możemy wreszcie zająć się błędem względnym. Definicja mówi, że błąd względny jest stosunkiem błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej. A zatem, aby obliczyć błąd względny, musimy podzielić błąd bezwzględny przez wartość rzeczywistą. Przedstawia to poniższy wzór:
Błądwzgl =

Wiedząc już jak oblicza się błąd względny przećwiczmy to na przykładach.

Przykład 2:
Oblicz błąd względny przybliżenia liczby 47,619 do drugiego miejsca po przecinku.
Aby obliczyć błąd względny, musimy najpierw policzyć błąd bezwzględny. Nasza wartość rzeczywista to oczywiście 47,619 , a przybliżenie tej liczby do drugiego miejsca po przecinku wynosi 47,62 (jest to przybliżenie z nadmiarem, bo 9>5). A zatem błąd bezwzględny będzie wynosił:
Błądbezwzgl = I47,619 – 47,62I = I-0,001I = 0,001
Teraz możemy znając już błąd bezwzględny możemy już się zabrać za błąd względny
Błądwzgl = = = 0,000021
A zatem obliczony przez nas błąd względny wynosi 0,000021.

Błąd względny często jest dość niewielką liczbą (co widać na powyższym przykładzie). Aby uniknąć pisania dużej ilości zer po przecinku (oraz aby błąd względny mógł być łatwiej odczytywany) matematycy często wyrażają błąd względny w postaci procentowej. Żeby to zrobić wystarczy obliczony błąd względny pomnożyć razy 100%, tak jak w poniższym wzorze:
Błądwzgl =
Należy jednak pamiętać, że skoro mnożymy razy 100% to wynik również musimy podać w procentach (czyli na końcu wyniku musi pojawić się symbol „%”). Żeby utrwalić sobie obliczanie błędu względnego wyrażonego w procentach przeanalizujmy sobie poniższy przykład.

Przykład 3:
Oblicz błąd względny przybliżenia liczby 81,5 do liczby 80. Wynik podaj w procentach z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
Zaczynamy od policzenia błędu bezwzględnego:
Błądbezwzgl = I81,5 – 80I = I1,5I = 1,5
Następnie liczymy błąd względny:
Błądwzgl = = 1,84% (Wynik zaokrąglony do drugiego miejsca po przecinku zgodnie z poleceniem)
A zatem obliczony przez nas błąd względny wynosi ok. 1,84%

Na podstawie powyższych przykładów można wysnuć wniosek, że błąd względny jest tym większy im przybliżenie danej liczby jest mniej dokładne, czyli czym większy jest błąd bezwzględny.

Czasem możemy się jednak spotkać z sytuacją, w której będziemy mieli podane przybliżenie oraz podany będzie błąd względny, nie będziemy jednak wiedzieli jaka jest wartość danej liczby w rzeczywistości. Należy wtedy śmiało podstawić podane wartości do wzoru, dzięki czemu otrzymamy proste równanie z jedną niewiadomą.

Przykład 4:
Odległość między Poznaniem, a Wrocławiem wynosi w przybliżeniu 160 km i jest to przybliżenie z niedomiarem. Jaka jest rzeczywista odległość między tymi miastami, jeśli błąd względny tego przybliżenia wynosi 0.37% (wynik podaj z dokładnością do części dziesiątych).
Wiedząc, że błąd względny to błąd bezwzględny podzielony przez wartość rzeczywistą razy 100% piszemy wzór:
Błądwzgl =

jednak ze względu na to, że nie mamy również podanego błędu bezwzględnego to wygodniej nam będzie zapisać ten wzór w postaci:

Błądwzgl =

Teraz podstawmy do naszego wzoru wartości podane w poleceniu:
0,37% = (gdzie x oznacza szukaną wartość rzeczywistą)

Przystępujemy do rozwiązywania równania (zaczynając od obustronnego podzielenia przez 100%):

0,0037 = (teraz mnożymy obie strony przez x (Zał. x > 0))
0,0037x = Ix – 160I (na tym etapie pozbywamy się wartości bezwzględnej).

Z polecenia wiemy że liczba 160 jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli szukana wartość rzeczywista jest od niej większa (x > 160). Skoro x jest większe od 160 to wyrażenie: x – 160 będzie liczbą dodatnią. Gdy jakakolwiek liczba dodatnia jest pod wartością bezwzględną to wartość tę można spokojnie opuścić, gdyż nie zaważy to na wyniku ( I liczba dodatnia I = liczba dodatnia ).
A zatem po opuszczeniu wartości bezwzględnej równanie przybierze postać:
0,0037x = x – 160 (przenosimy x na lewą stronę)
0,0037x – x = -160 (upraszczamy)
-0,9963x = -160 (dzielimy obustronnie przez -0,9963)
x 160,6 (wynik zaokrąglamy do części dziesiątych zgodnie z poleceniem)
A zatem nasza szukana wartość rzeczywista „x” wynosi 160,6. Teraz wystarczy tylko sformułować odpowiedź.
Odp: Rzeczywista odległość między Poznaniem, a Wrocławiem wynosi 160,6 km.

Podsumowanie:
Teraz, gdy już poznaliśmy błąd względny z łatwością możemy dostrzec jak jedno przybliżenie może zaważyć na wyniku. Ale co lepsze wiemy jak policzyć o ile (procent) wartość przybliżona „odstaje” od tej rzeczywistej (i na odwrót). Wiedząc to nie damy się już tak łatwo oszukać po usłyszeniu zdania typu „do celu zostało jeszcze 5 km”.