Usuń niewymierność z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika.
Usuwanie niewymierności z mianownika to jedna z najczęściej wykorzystywanych umiejętności w dziedzinie pierwiastków.

Z tym terminem spotykamy się, podczas gdy w mianowniku ułamka mamy pierwiastek będący liczbą niewymierną.
Kiedy wiemy, że wartość pierwiastka jest liczbą niewymierną?
Wtedy, gdy na przykład w jej rozwinięciu dziesiętnym nie zauważamy okresu. Okresu, czyli bloku cyfr lub pojedynczej cyfry stale powtarzających się.
Przykładowo ułamek można zapisać w postaci .
Liczbę niewymierną możemy kojarzyć także z taką, której nie zapiszemy w postaci ułamka zwykłego.

Udowodnijmy sobie przykładowo, że liczba jest niewymierna.
Teza : liczba jest niewymierna
Dokonam dowodu ,,Nie wprost”.
Zakładam, że liczba jest wymierna, czyli dokonuje zaprzeczenia tezy.
Jeżeli jest wymierna, to mogę ją zapisać w postaci ułamka zwykłego.
, gdzie i są całkowite i różne od zera.
podnieśmy do kwadratu, aby pozbyć się po lewej stronie pierwiastka.

(*)
ostatnia równość(*) nie zachodzi, gdyż otrzymalibyśmy, że liczba występuje nieparzystą liczbę razy po lewej stronie równania, a parzystą po prawej.
Doszliśmy do sprzeczności, czyli nasze założenie było błędne.
Udowodniliśmy, iż liczba należy do zbioru liczb niewymiernych.

Do rozwiązywania wielu zadań, w których koniecznością będzie usunięcie niewymierności z mianownika niezbędna jest wiedza z tematu – wzory skróconego mnożenia, dlatego też zapiszę trzy podstawowe poniżej:
a)
b)
c)
gdzie

Niewymierność z mianownika usuwamy na dwa sposoby:
I: W mianowniku ułamka znajduje się pojedynczy pierwiastek lub pierwiastek pomnożony przez jakąś liczbę – mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek znajdujący się w mianowniku z którego chcemy usunąć niewymierność;
II: W mianowniku ułamka znajduje się różnica lub suma liczb, z których co najmniej jedna jest pierwiastkiem. Wówczas licznik i mianownik mnożymy przez tzw. sprzężenie mianownika – mnożymy przez wyrażenie z mianownika ale ze zmienionym znakiem działania (tzn. jeśli w mianowniku mamy różnicę to mnożymy przez sumę, a jeśli mamy sumę to przez różnicę), aby móc skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykłady do sposobu pierwszego:
a)
mnożąc licznik i mianownik przez dochodzimy do uwolnienia ułamka od niewymierności.

b)
mnożąc licznik i mianownik przez dochodzimy do uwolnienia ułamka od niewymierności.

c)
mnożąc licznik i mianownik przez dochodzimy do uwolnienia ułamka od niewymierności.

d)
mnożąc licznik i mianownik przez dochodzimy do uwolnienia ułamka od niewymierności.
e)

Przykłady do sposobu drugiego:
a)

zauważamy wzór skróconego mnożenia w mianowniku.

mnożąc licznik i mianownik przez dochodzimy do uwolnienia ułamka od niewymierności.
b*) przykład nieco trudniejszy

c)

d)

Po co tak właściwie usuwamy niewymierność z mianownika?
Tak prawdę mówiąc to są w sumie są dwie różne przyczyny:
• usprawnia nam to pracę z działaniami na ułamkach. Dzięki temu, że w mianowniku nie mamy liczb typu , a mamy liczby całkowite, to bez problemu jesteśmy w stanie dodać lub odjąć jakiś inny ułamek zwykły. Mając postać z pierwiastkiem w mianowniku nie bylibyśmy w stanie tego zrobić, a tak mając całkowitą liczbę w mianowniku nie ma żadnego problemu z doprowadzeniem ułamków do wspólnego mianownika.
• bardzo często zapis wyrażenia po dokonaniu usunięcia niewymierności jest zwyczajnie krótszy. Należy zauważyć, że w niektórych przykładach udało nam się wręcz pozbyć całkowicie postaci ułamka otrzymując wynik typu . To bardzo duże ułatwienie, zwłaszcza kiedy trzeba zmierzyć się z bardziej skomplikowanymi zadaniami.

Można zauważyć, że do rozwiązywania tych przykładów nieodzowna jest wiedza i umiejętności praktyczne z takich tematów jak m.in: ułamki zwykłe, działania na pierwiastkach, potęgi. W matematyce wszystko się łączy.