Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny to graniastosłup prosty o podstawie sześciokąta foremnego, jego boki są prostokątami prostopadłymi do podstawy. Posiada on:
Dwie równoległe i przystające podstawy w kształcie sześciokąta foremnego
Sześć przystających ścian bocznych w kształcie prostokąta
Dwanaście wierzchołków, po sześć na obu podstawach
Osiemnaście krawędzi, po sześć na obu podstawach i sześć pomiędzy ścianami bocznymi
Osiemnaście przekątnych, dwanaście dłuższych i sześć krótszych
Wysokość


Pole podstawy jest równe polu sześciokąta foremnego o krawędzi a czyli Pp = (3a2√3)/2.

Pole powierzchni bocznej (sumę pól wszystkich ścian bocznych) można obliczyć ze wzoru Pb = 6 ah.

Pole powierzchni całkowitej takiego graniastosłupa wyrażone jest wzorem Pc = 2Pp + Pb (pole powierzchni całkowitej jest równe sumie pól obu podstaw i pola powierzchni bocznej).

Przykład: Ile wynosi pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy równej 3 i wysokości równej 5?

Pp = (3 32√3)/2
Pp = (3 9√3)/2
Pp = (27√3)/2
Pp = 14,5√3

Pb = 6 3 5
Pb = 18 5
Pb = 90

Pc = 2 14,5√3 + 90
Pc = 27√3 + 90

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi 27√3 + 90.

Przykład: Ile wynosi pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy równej 4 i wysokości równej 7?

Pp = (3 42√3)/2
Pp = (3 16√3)/2
Pp = (48√3)/2
Pp = 24√3

Pb = 6 4 7
Pb = 24 7
Pb = 168

Pc = 2 24√3 + 168
Pc = 48√3 + 168

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi 48√3 + 168.

Objętość tej bryły można obliczyć ze wzoru V = Pp h (iloczyn pola podstawy i wysokości), a biorąc pod uwagę, że w podstawie jest sześciokąt foremny może być to także wzór V = (3a2√3)/2 h.

Przykład: Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy równej 2 i wysokości równej 6?

V = (3 22√3)/2 6
V = (3 4√3)/2 6
V = (12√3)/2 6
V = 6√3 6
V = 36√3

Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa wynosi 36√3.

Przekątną każdej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego liczy się ze wzoru d =

Każda z podstaw tej bryły ma 3 przekątne dłuższe (d1 = 2a) oraz 6 przekątnych krótszych (d2 = a√3)

Ten graniastosłup posiada dwa rodzaje przekątnych różnej długości. Dwanaście dłuższych (d1) wyrażonych wzorem d1 =

Oraz sześć krótszych (d2) które można określić wzorem d2 =

Przykład: Jakie długości mają przekątne graniastosłupa sześciokątnego foremnego o krawędzi podstawy równej 3 oraz wysokości równej 5?

d1 =
d1 =
d1 =
d1 = √61

d2 =
d2 =
d2 =
d2 = √52
d2 = 2√13

Odpowiedź: Dłuższa przekątna tego graniastosłupa ma długość √61 a krótsza 2√13.

Przykład: Jaka jest suma długości wszystkich przekątnych graniastosłupa sześciokątnego foremnego o krawędzi podstawy równej 4 oraz wysokości równej 6?

d1 =
d1 =
d1 =
d1 = √100
d1 = 10

d2 =
d2 =
d2 =
d2 = √84
d2 = 2√21

10 6 + 2√21 12 = 60 + 24√21

Odpowiedź: Suma długości wszystkich przekątnych tego graniastosłupa wynosi 60 + 24√21

Przykład: Jaka jest suma długości wszystkich przekątnych podstawy graniastosłupa sześciokątnego foremnego o krawędzi równej 4?

d1 = 2 4 d2 = 4 √3
d1 = 8 d2 = 4√3

3 8 + 6 4√3 = 24 + 24√3

Odpowiedź: Suma długości tych przekątnych jest równa 24 + 24√3.