Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym

Trójkąt jest figurą płaską o trzech bokach i trzech wierzchołkach. Jest najprostszym możliwym wielokątem. Jego boki tworzą trzy kąty wypukłe, a suma miar tych kątów wynosi 180o. Jeśli wszystkie trzy kąty są ostre – trójkąt nazywa się ostrokątnym. Jeśli jeden kąt jest rozwarty – trójkąt nazywa się rozwartokątnym. Jeśli jeden kąt jest prosty – trójkąt nazywa się prostokątnym.

Jeśli dwa kąty w trójkącie są sobie równe – trójkąt taki nazywamy równoramiennym. (Ma on także równe dwa boki, leżące naprzeciwko równych kątów.) Oczywiście trójkąt może być jednocześnie „równoramienny i ostrokątny”, „równoramienny i rozwartokątny” lub „równoramienny i prostokątny”.

Trójkąt równoboczny, inaczej zwany foremnym, jest to trójkąt o wszystkich trzech bokach równych sobie nawzajem. Wszystkie jego kąty także są równe i mają po 60o. (A więc jest on także równoramienny i ostrokątny.)

Wysokości w trójkącie równobocznym pokrywają się jednocześnie z jego środkowymi, dwusiecznymi i symetralnymi.

Środkowa to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. (Środkowe przecinają się w jednym punkcie, dokładnie w 1/3 długości każdej z nich. Punkt ten nazywamy środkiem ciężkości trójkąta.)
Dwusieczna to półprosta, dzieląca kąt na pół. (Dwusieczne przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.)
Symetralna to prosta, dzieląca odcinek na pół i prostopadła do tego odcinka. (Symetralne przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.)

W trójkącie równobocznym wszystkie trzy wysokości mają taką samą długość. Przecinają się w jednym punkcie, który jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego, opisanego i środkiem ciężkości.

Znając długość boku „a” trójkąta równobocznego, możemy obliczyć długość jego wysokości „h”, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej (tzn. na boku trójkąta przeciwległym do kąta prostego) jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych (tzn. na bokach trójkąta przyległych do kąta prostego). Oczywiście twierdzenie to nadaje się do zastosowania jedynie dla trójkątów prostokątnych. Musimy więc znaleźć odpowiedni pasujący nam trójkąt prostokątny.

Zatem narysujmy trójkąt równoboczny ABC, wraz z wysokością CD.
Wtedy:

AB = BC = AC = a

AD = DB = [bo wysokość CD dzieli podstawę AB na pół]

kąt ADC = 90o [bo wysokość CD jest prostopadła do podstawy AB]

Szukamy:

CD = h = ?

Powstał mały trójkąt ADC i jest prostokątny. – Jest on „połową” naszego dużego trójkąta równobocznego ABC. Ma kąty równe: 90o, 60o i 30o. Znamy długości jego dwóch boków, możemy więc obliczyć długość trzeciego:

AD2 + CD2 = AC2

Przekształcając powyższy wzór możemy wyznaczyć długość boku „a”, na podstawie znanej długości wysokości „h”:

Możemy także wyznaczyć pole trójkąta równobocznego, znając jedynie długość jego boku „a”:

…albo znając jedynie wysokość „h”:

Oczywiście można także obliczyć długość wysokości, znając jedynie pole:

…albo długość boku, znając jedynie pole:

Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w 1/3 długości (bo są również środkowymi). Krótsza część jest promieniem „r” okręgu wpisanego w ten trójkąt, a dłuższa – promieniem „R” okręgu opisanego na tym trójkącie: