Błąd bezwzględny

Błąd bezwzględny

Pojęcie błędu bezwzględnego związane jest z przybliżaniem. Mianowicie przybliżanie to szukanie jakiejś liczby, której wartość jest bardzo ,,zbliżona” do liczby pierwotnej. Z definicji wynika, że znaleziona przez nas liczba ma wartość zbliżoną, lecz nie taką samą jak liczba pierwotna. Różnicę w wartościach tych dwóch liczb nazywamy błędem. Np.

W podanym wyżej przybliżeniu widzimy, iż rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone. Nie możemy zapisać wszystkich liczb po przecinku. Z tego powodu zaokrąglamy liczbę do dowolnego miejsca po przecinku. Liczba została zaokrąglona do części setnych, ale równie dobrze mogłaby zostać zaokrąglona do części dziesiętnych itd. Możemy zauważyć, iż aby dokonać przybliżenia liczby musimy ,,wyrzucić” pewne cyfry. Pomimo, że często nie mają one dużego znaczenia, to przybliżenie ich nie uwzględnia. Zamiast nich podaje nam inną, tylko zbliżoną wartością liczbę do pierwotnej. Cyfry, które pominęliśmy sprawiają, że w naszym wyniku pojawia się błąd.
Wyróżniamy dwa rodzaje błędu: błąd bezwzględny i błąd względny. Różnica między nimi jest znacząca, ale żeby ją zobaczyć trzeba poznać definicję obu z nich.
Błąd bezwzględny to wartość bezwzględna ( bez względu na inne czynniki) różnicy pomiędzy wartością rzeczywistą (oznaczamy r) a przybliżoną/szacunkową (oznaczamy p). Zatem błąd bezwzględny możemy obliczyć wzorem:

x- błąd bezwzględny
r- wartość rzeczywista liczby
p- wartość przybliżona liczby
Z kolei błąd względny to błąd popełniony podczas przybliżania, lecz w odniesieniu do rzeczywistej wartości liczby. Możemy obliczyć go wzorem:

xw-błąd względny
|r-p|- błąd bezwzględny (różnica między rzeczywistą wartością liczby a wartością przybliżoną)
r- wartość rzeczywista liczby
Wyróżniamy też błąd procentowy, który informuje o tym, jaki procent wartości rzeczywistej liczby stanowi błąd bezwzględny. Obliczamy go mnożąc błąd względny przez 100%.
Aby zobaczyć różnicę między błędem bezwzględnym a błędem względnym przeanalizujmy takie zadanie:
Asia oraz Basia dostały od mamy zadanie. Basia miała zmierzyć długość dużego stołu, a Asia krótkiego ołówka. Stół miał 180 cm. Natomiast ołówek 4 cm. Niestety obie dziewczynki się pomyliły. Basi wyszło, że stół ma 178 cm. Asia powiedziała, iż ołówek ma 2 cm. Która z nich popełniła większy błąd? Czy da się jednoznacznie odpowiedzieć na to pytanie?
Wykonanie: Liczymy błędy w pomiarze obu dziewczynek pamiętając jednak o tym, że w poleceniu nie mamy podane o jaki błąd chodzi autorowi, więc uwzględniamy zarówno błąd bezwzględny, jak i względny.

Basia








(jednostka się skróciła)

Asia









Odpowiedź: Odpowiedź nie jest jednoznaczna, ponieważ jak widzimy pod uwagę można wziąć błąd bezwzględny, który w przypadku obu dziewczynek jest taki sam bądź błąd względny, który w przypadku Asi jest zdecydowanie większy. W przypadku Basi, pomimo że błąd bezwzględny jest taki sam, nie czyni on tak dużej różnicy w obliczeniach jak u Asi.
(Zadanie to pokazuje również, że błąd może wynikać także z naszej omylności).
PRZEĆWICZ TO!
Zadanie 1.
W miejscowości X odbywał się konkurs. Każdy jego uczestnik musiał oszacować szerokość rzeki Y przepływającej przez tę miejscowość. Kasia powiedziała, że rzeka ma 8m szerokości i okazało się, że w rzeczywistości jest tylko o 6 cm szersza. Jaką szerokość ma rzeka?
Rozwiązanie: Wypisujemy dane i potrzebne wzory. (Jeżeli początkowo nie wiesz jakiego wzoru użyć, to wypisz wszystkie dane i dopiero potem zastanów się, które z nich są Ci potrzebne i jaki wzór je łączy!)



UWAGA! Jednostki muszą być w całym zadaniu takie same.

SĄ NA TO DWA SPOSOBY! Można najpierw przekształcić wzór i dopiero podstawić dane lub ułożyć równanie podstawiając dane i je rozwiązać.
I. Jeżeli różnica r i p dawałaby wartość ujemną, to opuszczając znak wartości bezwzględnej musielibyśmy zmienić znaki na przeciwne (+ na – lub – na +). Stałoby się tak, gdyby wartość p była większa od wartości r, ale w tym zadaniu taka sytuacja nie zachodzi.
/



II.



/:(-1)

Odpowiedź: Rzeka ma 8,06 m/806 cm.
Zadanie 2.
Maciek brał udział w tym samym konkursie co Kasia, jednakże organizowanym w innej miejscowości. Zajął trzecie miejsce. Myślał, że rzeka Z jest o 20 cm szersza niż w rzeczywistości. Podczas ogłoszenia wyników sędziowie powiedzieli, że ma 12m. O jakiej szerokości myślał Maciek?



< (z treści zadania)

(dlatego, że r jest mniejsze od p-patrz zadanie wyżej)
/: (-1)



Odpowiedź: Maciek myślał, że ma 12,2 m.
Zadanie 3.
Patrycja rozwiązywała zadanie z fizyki. Wynik, który uzyskała na kalkulatorze to 1,7663, ale pani pozwala uczniom robić przybliżenia do części setnej, więc dziewczynka wpisała, iż w przybliżeniu wynik wynosi 1,77. Jaki błąd bezwzględny popełniła?






Odpowiedź: Błąd bezwzględny popełniony przez Patrycję wynosi 0,0037.
UWAGA! Wartość błędu bezwzględnego nigdy nie może być ujemna, więc w obliczeniach pamiętaj o znaku wartości bezwzględnej.