Stereometria

SZEŚCIAN
Sześcian to graniastosłup, którego każda ściana jest kwadratem.

Wzory na sześcian:



, gdzie:
a – krawędź sześcianu,
Pc – pole całkowite,
V – objętość,
D – przekątna sześcianu.

PROSTOPADŁOŚCIAN
Prostopadłościan jest graniastosłupem, w którym każda z sześciu ścian jest prostokątem.

NAZWA GRANIASTOSŁUPA
Nazwa graniastosłupa bierze się od jego podstawy, tzn. od tego, jakim wielokątem jest podstawa,
np. graniastosłup mający w podstawie trójkątem jest nazywany graniastosłupem trójkątnym.

GRANIASTOSŁUP PRAWIDŁOWY
Graniastosłup prawidłowy to taki graniastosłup, który ma:
-podstawy będące wielokątami foremnymi,
-ściany boczne, które są identycznymi prostokątami.

GRANIASTOSŁUP PRAWIDŁOWY TRÓJKĄTNY
Graniastosłup prawidłowy trójkątny w podstawach ma trójkąty foremne.
Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny.

α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy,
β – kąt między przekątną ściany bocznej, a wysokością.

Przy podstawie zachodzą następujące zależności:

, z czego:
r – promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny,
R – promień okręgu opisanego na trójkącie foremnym,
h – promień trójkąta,
a – bok trójkąta.

GRANIASTOSŁUP PRAWIDŁOWY CZWOROKĄTNY
Graniastosłup ten ma w podstawie kwadrat, będący czworokątem foremnym oraz ściany boczne będące identycznymi prostokątami.

α – kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy,
β – kąt między przekątną graniastosłupa, a wysokością.

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, zatem:

, gdzie:
d – przekątna podstawy,
r – promień okręgu wpisanego w kwadrat,
R – promień okręgu opisanego na figurze.

GRANIASTOSŁUP PRAWIDŁOWY SZEŚCIOKĄTNY
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny oraz posiada 2 typy przekątnych nie będącymi jednocześnie przekątnymi ścian bocznych.

α – kąt nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa do podstawy,
β – kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa, a wysokością.

α – kąt nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do podstawy,
β – kąt między krótszą przekątną graniastosłupa, a wysokością.

Dodatkowo patrząc na jego podstawę, która jest sześciokątem foremnym widzimy, że dzieli się on na 6 identycznych trójkątów równobocznych, zatem:

, gdzie:
Pp – pole podstawy,
a – krawędź sześciokąta,
r – promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny,
R – promień okręgu opisanego na podstawie.

OSTROSŁUPY
Ostrosłup to wielościan, który ma:
-jedną podstawę będącą dowolnym wielokątem,
-ściany boczne, które są trójkątami.

, z czego:
V – objętość ostrosłupa,
Pp – pole podstawy,
H – wysokość ostrosłupa,
Pc – pole całkowite,
Pb – pole powierzchni bocznej.

CZWOROŚCIAN
Czworościan to taki ostrosłup, którego każda ściana jest trójkątem.

CZWOROŚCIAN FOREMNY
Czworościan foremny to taki ostrosłup, którego każda ściana jest identycznym trójkątem równobocznym.

, zatem:

OSTROSŁUP PRAWIDŁOWY
Ostrosłup prawidłowy to taki ostrosłup, który ma:
-podstawę będącą wielokątem foremnym,
-ściany boczne, które są jednakowymi trójkątami równoramiennymi,
-spodek wierzchołka znajduje się w środku okręgu opisanego i wpisanego w podstawę.

OSTROSŁUP PRAWIDŁOWY TRÓJKĄTNY
Ostrosłup prawidłowy trójkątny w podstawie ma trójkąt równoboczny.

α – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy,
β – kąt między wysokością ostrosłupa, a krawędzią boczną,

γ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy,
δ – kąt między wysokością ostrosłupa, a wysokością ściany bocznej.

OSTROSŁUP PRAWIDŁOWY CZWOROKĄTNY
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.

α – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy,
β – kąt między wysokością, a krawędzią boczną,

γ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy,
δ – kąt między wysokością ostrosłupa, a wysokością ściany bocznej.

OSTROSŁUP PRAWIDŁOWY SZEŚCIOKĄTNY

α – jest kątem nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy,
β – jest kątem pomiędzy wysokością, a krawędzią boczną,

γ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy,
δ – kąt między wysokością ostrosłupa, a wysokością ściany bocznej.

WALEC
Walec to bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dookoła dowolnej osi. Osią tą może być np. jeden z jego boków. Bryła ta ma:
-2 podstawy będące kołami,
-powierzchnie boczną, która po rozwinięciu ma płaszczyznę, która jest prostokątem.

PRZEKROJE WALCA
Przekrojem osiowym walca jest prostokąt o wymiarach
2r x H

α – kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy,
β – kąt między przekątną przekroju osiowego, a wysokością walca.

-przekrojem poprzecznym walca jest koło przystające do tego, które jest jego podstawą.

STOŻEK
Stożek jest bryłą obrotową, która powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.
Bryła ta ma:
-jedną podstawę będącą kołem,
-powierzchnię boczną, która po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła.

Siatka stożka wygląda w ten sposób:

, zatem:

α – kąt środkowy wycinka kołowego
l – tworząca stożka
r – promień podstawy

PRZEKROJE STOŻKA
-przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym, którego podstawą jest podwojony promień (2r), a ramionami tworzące (l).

α – kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy,
β – kąt rozwarcia stożka.

-przekrój poprzeczny stożka jest kołem.

KULA
Kula powstaje w wyniku obrotu półkola wokół osi symetrii (oś symetrii=2r).

KOŁO WIELKIE
Jest to największe koło, jakie można wpisać w kulę, a jego pole wynosi: