Funkcja liniowa – to funkcja opisana wzorem:
f(x) = ax + b lub y = ax + b Warunek: a R oraz b R
a – współczynnik kierunkowy.
Współczynnik a – nazywamy współczynnikiem kierunkowym, ponieważ prosta, która jest wykresem funkcji liniowej nachylona jest pod kątem do osi x, gdzie jest równy tangensowi kąta.
b – wyraz wolny ( lub stały). Wskazuje gdzie wykres funkcji przecina oś OY.
Dziedziną funkcji liniowej – jest zbiór liczb rzeczywistych D = R pod warunkiem, że a jest różne od 0.
Przykłady funkcji liniowych:
y = + 1 a = ; b = 1
f(x) = -5x – 8 a = -5 ; b = -8
y = 0 a = 0 ; b = 0
f(x) = a = 0 ; b =
y = – y = 0.7x – 1 a = 0.7 ; b= -1
Wykres funkcji liniowej:
Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Do narysowania wykresu funkcji liniowej należy wyznaczyć 2 punkty, przez które przechodzi prosta. ( 2 punkty wyznaczają prostą).
Żeby wyznaczyć punkty funkcji należy pod x i y podstawić liczby ,np.: 0 i 1
PRZYKŁAD
y = 4x + 1
x
|
|
0
|
1
|
y
|
1
|
5
|
Obliczamy wartość funkcji
y = 4*0 + 1 = 1 y = 4*1 + 1 = 4 + 1 = 5
Otrzymaliśmy 2 punkty o współrzędnych (0;1) i (1;5)
Zaznaczamy je na układzie współrzędnych i rysujemy wykres.
Miejsce zerowe – to argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0.
PRZYKŁAD
y = 4x – 2 x
R
4x – 2 = 0
4x = 2 /:4
x =
x =
Monotoniczność funkcji:
O monotoniczności funkcji informuje współczynnik a.
Jeżeli a > 0 to funkcja jest rosnąca
Wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.
y = ax + b x
R
a > 0 bo funkcja rosnąca
x1 < x2 f(x2) > f(x1)
2.Jeżeli a < 0 to funkcja jest malejąca
Wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.
y = ax + b x
R
a < 0 bo funkcja malejąca
x1 < x2 f(x2) < f(x1)
3.Jeżeli a = 0 to funkcja jest stała
Wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji są takie same.
y = ax + b
a = 0 bo funkcja stała
b > 0 bo przecina oś OY nad osią OX.
x1 < x2 f (x1) = f(x2)
Wykresy funkcji są
równoległe gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy.
a1 = a2
Określenie własności funkcji:
Własności:
1.Dziedzina: zbiór liczb rzeczywistych; x R
2.Zbiór wartości funkcji: ZWf R ZWf ( – ∞: + ∞)
3.Miejsce zerowe: x = 1
4.Monotoniczność funkcji: funkcja malejąca
5.Punkt przecięcia z osią rzędnych: (0; 2)
6.f(x) > 0 dla x ( – ∞; 1)
f(x) < 0 dla x (1; + ∞)
Zastosowanie funkcji liniowej:
W zadaniach, w których występują zależności z wielkościami niewiadomymi.
Podczas rozwiązywania zadań doprowadzamy do związku między tymi wielkościami zapisując je w postaci nierówności, równania lub układu nierówności bądź układu równania.
2.Znając punkty przez które przechodzi wykres funkcji liniowej możemy podać wzór funkcji liniowej.
A (0; -1), czyli b = -1 –> y = ax – 1
B ( -3; 2)
Podstawiamy do równania y = ax + b.
Pierwsza współrzędna punktu to x, a druga y.
y = ax – 1
-3 = a*2 – 1
2a – 1 = -3
2a = -3 + 1
2a = -2 :/ 2
a = -1
czyli wzór funkcji liniowej to: y = -1x – 1
|
