W matematyce wykresem funkcji nazywamy graficzne przedstawienie przy pomocy osi układu współrzędnych funkcji np. . W matematyce wyróżniamy kilkadziesiąt rodzajów funkcji: funkcje liniowe, kwadratowe, wielomianowe, homograficzne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, sinus, cosinus, tangens, cotangens. W przystępny sposób postaram się opisać kilka z nich.
Funkcję liniową określa wzór: , gdzie a to współczynnik kierunkowy prostej, a b to wyraz wolny.
Wykresem tej funkcji jest prosta, zależna od współczynnika kierunkowego. Wykresem tej funkcji jest prosta. Szczególny przypadek stanowi sytuacja, w której prosta ta jest równoległa do osi Y. Aby narysować wykres takiej funkcji najłatwiej jest posłużyć się tabelką i wyznaczyć przynajmniej dwa punkty niezbędne do narysowania tej funkcji. Najlepiej wybierać wartości łatwe w obliczaniu, np. -1, 0, 1. Przykładem funkcji liniowej może być Tworzymy tabelkę składającą się z dwóch wierszy. W pierwszym będą współrzędne x, a w kolejnym współrzędne y punktów należących do wykresu funkcji.
x
|
|
-1
|
0
|
1
|
y=x+1
|
0
|
1
|
2
|
Dzięki tej tabelce możemy w układzie współrzędnych zaznaczyć punkty P1(-1, 0), P2(0, 1), P3(1, 2). Po połączeniu tych punktów otrzymujemy wykres tej funkcji liniowej.
Funkcję kwadratową określa wzór:
. Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola. W zależności od współczynnika a, parabola ma skierowane ramiona w różne strony. Gdy współczynnik a>0, ramiona paraboli są skierowane do góry, a wierzchołek paraboli znajduje się najbliżej spośród pozostałych punktów przy osi X (w wierzchołku paraboli funkcja przyjmuje najmniejszą wartość). Gdy współczynnik a<0, ramiona paraboli są skierowane do dołu, a wierzchołek paraboli znajduje się najbliżej spośród pozostałych punktów przy osi X (w wierzchołku paraboli funkcja przyjmuje największą wartość). Przy rysowaniu tego wykresu warto brać pod uwagę jedne z ważniejszych punktów, by nasz wykres był bardziej dokładny. Miejsce/miejsca zerowe/bądź ich brak, przecięcie pionowej osi, punkty "kratowe" (punkt, gdzie przecinają się linie kratek w naszym zeszycie) to jedne z najważniejszych punktów. Gdy ktoś sprawdza dokładność naszego wykresu, zazwyczaj sprawdza poprawność zaznaczenia tych punktów. Oczywiście, te punkty tworzą linie ciągłą - funkcja to połączenie wyżej wymienionych punktów.
Funkcja wielomianowa to funkcja, w której spotykamy x w potędze większej niż 2. Przed przystąpieniem do rysowania tego typu wykresów niezbędna jest znajomość pojęcia funkcji liniowej, kwadratowej, krotności pierwiastków (miejsc zerowych) oraz rozwiązywania równań wielomianowych. Poniżej przedstawię, jak krok po kroku narysować taki przybliżony wykres.
Na początku przekształcamy wzór funkcji do postaci iloczynowej. Określenie to jest mało fachowe, lecz po uczniowsku możemy powiedzieć, że wzór ten musi być w takiej postaci, by było mnożenie każdego z nawiasów, np. Mając taką postać z łatwością możemy wyłapać miejsca zerowe: x+1=0 oraz 5x+5=0 oraz x-2=0. Z tego natomiast wyliczamy, że miejsca zerowe tego wielomianu to: x=-1, x=-1, x=2. Jak widzimy, z dwóch „nawiasów” wyszedł nam wynik, że miejscem zerowym jest ta sama cyfra. Oznacza to nic innego jak dwukrotność tego pierwiastka (miejsca zerowego). Równoznacznie piątkę z drugiego nawiasu możemy wyciągnąć przed nawias, tym samym otrzymalibyśmy skróconą wersję tego wielomianu: . Z tej formy wyciągamy jeszcze szybsze wnioski.
Na osi X zaznaczamy miejsca zerowe pamiętając o tym, by zawsze sprawdzić czy to miejsce zerowe należy do dziedziny.
Teraz patrzymy na współczynnik znajdujący się przy x w najwyższej potędze. W naszym przypadku przed „nawiasami” jest jedynka, której nie zapisujemy. Współczynnik ten jest dodatni co oznacza, że zaczynamy rysować wykres od miejsca w prawym rogu powyżej osi X. Gdyby ten współczynnik był ujemny, to rozpoczynamy rysowanie wykresu od dolnego prawego rogu
Następnie gdy „dojeżdżamy” do pierwszego od prawej miejsca zerowego. Sprawdzamy, czy ten pierwiastek jest parzysto-krotny (krotność tego pierwiastka jest parzysta). Jeśli tak, „odbijamy” od tego miejsca zerowego (nie przechodzimy przez oś X, jedynie do niej dochodzimy) i dojeżdżamy do kolejnego miejsca zerowego. Gdy trafiamy do pierwiastka, który jest nieparzysto-krotny, rysując wykres „przechodzimy” przez ten punkt (przechodzimy przez oś X).
Tak postępujemy aż do narysowania całego wykresu, uwzględniając wszystkie miejsca zerowe.
Na załączonym zdjęciu przedstawiłam różnice w wyglądzie między wykresami funkcji liniowej, kwadratowej i wielomianowej. Mam nadzieję, że ten artykuł pomógł wam zrozumieć różnice w wyglądzie tych wielu funkcji.
|
