Równanie okręgu

Równanie okręgu:
a) postać kanoniczna równania okręgu:
=
gdzie (x ;y) to współrzędne punktu należącego do okręgu, (a ;b) to współrzędne środka i r to promień okręgu można te równanie zapisać również w następującej formie:

b) promień okręgu:
promień okręgu jest równy długości wektora środka okręgu i punktu należącego do tego okręgu jeżeli środek okręgu ma współrzędne (0;0) to kwadrat promienia wynosi:
, ponieważ podstawiając współrzędne środka do postaci kanonicznej równania okręgu otrzymujemy:

Ćwiczenie 1: Wyznacz równanie okręgu o środku S o współrzędnych (2,4) i promieniu równym 3 a=2 b=4 r=3
po podstawieniu danych do postaci kanonicznej równania okręgu dostajemy następujące równanie:

Ćwiczenie 2: Wyznacz promień okręgu o środku S o współrzędnych (1,-2) oraz przechodzącym przez punkt P o współrzędnych (4,3)
a=1 b=-2 x=4 y=3 ponownie podstawiamy dane do równania:



Promień tego okręgu wynosi .

c) sprawdzanie czy podane równanie jest równaniem okręgu:
aby sprawdzić czy określone równanie jest równaniem okręgu musimy znaleźć takie współrzędne środka aby równanie było prawdziwe
Przykład:
dla równania
1) korzystając ze wzorów skróconego mnożenia staramy się otrzymać postać kanoniczną danego równania okręgu
w tym przypadku na końcu nawiasów dopisujemy -4, ponieważ aby włączyć y pod nawias
musieliśmy dopisać +4
Po przerzuceniu -4 na drugą stronę otrzymujemy powyższe równanie okręgu. Wynika z niego, że środek okręgu ma współrzędne (1;-2), a
promień wynosi 2. Udowodniliśmy tym samym, że podane równanie jest równaniem okręgu.

2) możemy również skorzystać ze wzoru dla równania , który wygląda w następujący sposób:

>
dowód:


włączamy wartości x i y pod nawias, który potęgujemy do kwadratu

przerzucamy wolne elementy na drugą stronę równania
Obydwa nawiasy, które bierzemy do kwadratu na pewno są dodatnie co oznacza, że prawa strona równania również musi być dodatnia aby równanie było prawdziwe.

d) obliczanie promienia okręgu znając współrzędne dwóch punktów należących do okręgu:
Ćwiczenie 1: Wyznacz równanie okręgu o promieniu 5 przechodzącego przez przez punkty A(1,4) i B(3,0)
Środek okręgu O leży na symetralnej odcinka AB. Aby policzyć symetralną odcinka AB należy policzyć równanie prostej AB:



Następnie obliczamy punkt S który jest środkiem odcinka AB:
S
Współrzędne punktu S to .
Teraz musimy znaleźć taki współczynnik prostej „a” aby była ona prostopadła do odcinka AB
Korzystamy ze wzoru na prostopadłość dwóch prostych:
Otrzymujemy prostą o równaniu i podstawiamy punkt S, przez który będzie przechodziła symetralna

Równanie prostej symetralnej do odcinka AB to:
Szukamy punktu O takiego, że odcinek OA wynosi 5
= obustronnie bierzemy do kwadratu


aby pozbyć się ułamku prostego z równania, mnożymy obustronnie przez 4
teraz podzielimy przez 5

Obliczamy deltę dla równania kwadratowego

Miejsca zerowe równania to:



Zatem równania tego okręgu mają dwie postacie:

e) wyznaczanie równania okręgu na trójkącie
Ćwiczenie 1: Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC o następujących współrzędnych punktów:

Środek S okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia trzech symetralnych boków trójkąta.
1) symetralna odcinka AB
prosta AB



symetralna odcinka AB w tym przypadku wynosi średnią arytmetycznych współrzędnych x punktów AB

2) symetralna odcinka BC
prosta BC


współczynnik kierunkowy symetralnej BC –
środek odcinka BC ma współrzędne

równanie symetralnej BC to:
Teraz możemy znaleźć punkt przecięcia symetralnych


Punkt przecięcia symetralnych S
Promień okręgu (długość odcinka AS)
Równanie okręgu