Sin cos tg

Sinus, cosinus, tangens

Sinus, cosinus i tangens są podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi (pozostałe, odpowiednio secans, cosecans i cotangens, stanowią ich odwrotności).

Definicje funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne definiujemy na wiele różnych sposobów, pierwszym z nich są stosunki boków trójkąta prostokątnego:

Rysunek 1.

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równa się stosunkowi długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równa się stosunkowi długości przyprostokątnej przy kącie do długości przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równa się stosunkowi długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta do długości przyprostokątnej przy kącie .

Uogólnieniem tej definicji jest przedstawienie kąta jako kąta w układzie współrzędnych:

Rysunek 2.

– odcięta punktu P
– rzędna punktu P
– promień wodzący punktu P

Sinusem kąta jest stosunek rzędnej punktu P do długości promienia wodzącego.

Cosinusem kąta jest stosunek odciętej punktu P do długości promienia wodzącego.

Tangensem kąta jest stosunek rzędnej do odciętej punktu P.

Zauważmy, że skoro wartość promienia wodzącego zawsze jest dodatnia, to:
– znak sinusa zależy od znaku rzędnej (w I i II ćwiartce dodatni, w III i IV ujemny),
– znak cosinusa zależy od znaku odciętej (w I i IV dodatni, w II i III ujemny),
– znak tangensa zależy od znaków rzędnej i odciętej (gdy są takie same jest dodatni, gdy różne – ujemny).

Istnieje opisujący te wnioski wierszyk:
W pierwszej ćwiartce same plusy,
W drugiej sinus,
W trzeciej tangens i cotangens,
A w czwartej cosinus.

Wartości funkcji trygonometrycznych

Spróbujmy teraz wyznaczyć wartości poszczególnych funkcji trygonometrycznych dla „szczególnych” kątów:

0°
Skorzystajmy z uogólnionej definicji. Zauważmy, że mamy: i , zatem:

30°
W trójkącie prostokątnym, w którym jeden kąt jest równy 30°, drugi kąt ma miarę 60°. Jest on zatem połową trójkąta równobocznego, w którym (bazujemy na oznaczeniach z rysunku 1.) mamy następujące związki miarowe:
i , zatem:

45°
Trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów jest równy 45°, jest połową kwadratu, mamy więc: i , zatem:

60°
W trójkącie prostokątnym, w którym jeden kąt jest równy 60°, drugi kąt ma miarę 30°. Ponownie zauważamy więc związki miarowe z trójkąta równobocznego (oznaczenia z rysunku 1.): i , zatem:

90°
Ponownie skorzystajmy z uogólnionej definicji. Zauważmy, że: i , zatem:

– wartość nieokreślona

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Wyznaczmy dwa związki między poznanymi funkcjami trygonometrycznymi:

Tangens kąta jest równy stosunkowi jego sinusa do cosinusa.


Dowód:

2. Suma kwadratu sinusa i kwadratu cosinusa kąta jest równa 1.


Dowód:

Zauważmy, że z twierdzenia Pitagorasa mamy: , zatem: