Własności logarytmów

LOGARYTMY I ICH WŁASNOŚCI
Wprowadzenie pojęcia logarytmu w matematyce zawdzięczamy szkockiemu matematykowi Johnowi Napierowi, a zidentyfikowanie logarytmów dziesiętnych Anglikowi- Henremu Briggsowi.
Definicja logarytmu:
Zakładamy, że liczby a i b są dodatnie oraz a nie jest równe 1. Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy taką liczbę x, która jest wykładnikiem potęgi liczby a, do której należy podnieść tę liczbę, by otrzymać liczbę b. Inaczej możemy zadać sobie pytanie: Do której potęgi należy podnieść liczbę a, by otrzymać liczbę b? Odpowiedź na to pytanie to wartość naszego logarytmu.
Wzór logarytmu:
a>0, a różne od 1, b>0
logab = x, gdy ax = b

W tym wzorze liczbę a nazywamy podstawą logarytmu.
Liczbę b nazywamy natomiast liczbą logarytmowaną.
Przykłady:
log216 = 4, ponieważ 24 = 16
log2= -3, ponieważ 2-3 =
log2 =, ponieważ 2 =
Definicja logarytmu dziesiętnego:
Logarytm o podstawie 10 (logarytm dziesiętny) z dodatniej liczby b to taka liczba x, że 10x=b. Czyli inaczej do której potęgi musimy podnieść liczbę 10, by otrzymać liczbę b.
Wzór logarytmu dziesiętnego:

log b = x
Przykłady:
log100 = 2, ponieważ 102 = 100
log0,1 = -1, ponieważ 10-1 = 0,1
log = , ponieważ 10 =

Należy zapamiętać:
loga1 = 0
logaa = 1
logaan = n
Przydatne twierdzenie:
Zakładając, że liczby a, b, c są dodatnie, a liczba a nie jest równa 1, to:
1) logabc = logab + logac jest to logarytm iloczynu
DOWÓD: Niech logab = x , logac = y, logabc = z
TEZA: x + y = z
logab = x ax = b
logac = y ay = c
logabc = z az = bc
ax ay = bc ax+y = bc
az = bc
ax+y = az
x + y = z ckd.

2) loga = logab – logac jest to logarytm ilorazu
DOWÓD: Niech logab = x , logac = y, logabc = z
TEZA: x + y = z
logab = x ax = b
logac = y ay = c
loga = z az =
ax : ay = ax-y =
az =
ax-y = az
x-y = z ckd.
3) logabc = c logab jest to logarytm potęgi
DOWÓD: Niech logabc = x, logab = y
TEZA: x = c y
logabc = x ax = bc
logab = y ay = b |c
(ay)c = bc acy = ac
ax = acy
x = cy ckd.

Jak w prosty sposób poradzić sobie z logarytmami o liczbie logarytmowanej w postaci pierwiastka?
Jako przykład postawmy sobie log3 = x
log3 = x 3x =
3x = 3 3
3x = 3
x =
Należy pamiętać, iż pierwiastek n-tego stopnia z danej liczby jest równy tej liczbie podniesionej do potęgi .
Innym (prawdopodobnie nieco trudniejszym) przykładem może być log3
log3 = x 3x =
3x =
3x = 3–
x = –
Należy pamiętać, iż = p-n.
Jak poradzić sobie, gdy daną liczbę mamy podnieść do potęgi logarytmowej?
Za przykład posłuży nam ()2log32
() 2log32 = ()log34 = (3-1)log34 = 3-1log34 = 3log3 =
Innym (trudniejszym) przykładem może być 4 + log23
4 + log23 = 4 log23 = 4 (2)log23 = 4 2log2 = 4 = 4

Logarytmy są pojęciem dosyć szerokim i ważnym w matematyce dlatego warto zaznajomić się przynajmniej z ich podstawami.