Pole trapezu prostokątnego

Trapez prostokątny jest to czworokąt o co najmniej 2 kątach prostych (równych 90º). Co najmniej jedno ramię tej figury tworzy z podstawami kąt prosty.
Podstawy trapezu- Podstawami trapezu nazywamy boki do siebie równoległe- a i b.
Ramiona trapezu- Pozostałe boki w czworokącie

Pole każdego trapezu możemy opisać wzorem:
P= ½· (a+b)· h
a- jedna z podstaw trapezu;
b- druga podstawa trapezu;
h- wysokość trapezu; odległość między podstawami trapezu;
P- pole trapezu

Wysokość trapezu prostokątnego znajduje się w jego boku przy kącie prostym- na powyższym rysunku oznaczona jest literą c. Pole trapezu jest równe połowie iloczynu sumy długości podstaw i jego wysokości. Więc pole tego trapezy można zapisać jako:
P= ½· (a+b)· c
a- jedna z podstaw trapezu;
b- druga podstawa trapezu;
c- ramie trapezu, które jest pod kątem prostym do podstaw
P- pole trapezu prostokątnego

Ramie trapezu prostokątnego, które znajduję się pod kątem prostym do obu podstaw ma długość równa wysokości tego trapezu, odległości pomiędzy podstawami.

Właściwości trapezu prostokątnego:
-ma minimum dwa kąty proste (jeśli ma 4 kąty proste jest prostokątem);
-kąty wewnętrzne mają sumaryczną miarę 360°;
-ramie, które tworzy kąty proste jest także jego wysokością;
-przekątne w trapezie są różnej długości (wyjątkiem są prostokąty- trapezy z większą ilością kątów prostych)

Na powyższym obrazku oznaczono zielonym kolorem przekątne- e, f.

Dowód na wzór na pole trapezu prostokątnego:

Aby udowodnić wzór na pole trapezu prostokątnego należy przeciąć ten czworokąt linią prostopadłą do wysokości c), przechodzącą przez środek tego boku
(na poniższym rysunku jest to ukazane pomarańczowa linią)

Linia ta dzieli wysokość- c na dwie jednakowej długości części.

W ten sposób powstaje prostokąt o bokach długości ½c i a+b, którego pole jest równe polu trapezu.
Pole tego prostokąta jest równe P=½c *(a+b), wzór ten jest taki sam jak wzór na pole trapezu, co kończy dowód.

Zadanie 1.
Oblicz pole trapezu prostokątnego, którego:
a) podstawy mają długości 11 cm i 8 cm, zaś długość wysokości jest równa 10 cm;
b) podstawy mają długość 10 cm i 9 cm, a nieprostopadłe ramię ma długość 11 cm.
c) długość wysokości trapezu prostokątnego jest równa 5 cm, jedna z jego podstaw jest równa 4 cm, zaś krótsza podstawa jest równa ¼ długości krótszej podstawy.

Rozwiązanie:
a) wypisujemy z treści zadania dane:
a= 11 cm
b= 8 cm
h= c= 10 cm
Następnie podstawiamy dane pod wzór na pole trapezu prostokątnego:
P= ½· c· (a+b)
P= ½· 10 cm· (11 cm+ 8 cm)
P= 5 cm· 19 cm
P= 95 cm2
Odpowiedz: Pole tego trapezu wynosi 95 cm2.

b) Wypisujemy z treści zadania dane i obrazujemy je na rysunku pomocniczym.

a= 9 cm
b= 10 cm
c= ?
Długość wysokości c możemy obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa, ponieważ powstały trójkąt jest trójkątem prostokątnym:
x2+ c2= 112
Długość odcinka x jest równa różnicy dłuższej podstawy od długości krótszej podstawy.
x= 10 cm -9 cm= 1 cm
W tym momencie możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
(1 cm)2+ c2= (11 cm)2
c2= 121 cm2 – 1 cm2
c2= 120 cm2
c2= 2×2×2×3×5
c= 2√30 cm
Gdy znamy długość wysokości możemy obliczyć pole trapezu, podstawiając długości do wzoru:
P= ½· c· (a+ b)
P= ½· 2√30 cm· (9 cm+ 10 cm)
P=√30 cm· 19 cm
P= 19√30 cm2
Odpowiedź: Pole tego trapezu prostokątnego jest równe 19√30 cm2.

c) Wypisujemy dane i liczymy długość krótszej podstawy:
a= 4 cm
b= ¼· 4 cm= 1 cm
c= 5 cm
Następnie podstawiamy długości boków do wzoru na pole trapezu prostokątnego:
P= ½· c· (a+ b)
P= ½· 5 cm· (4 cm+ 1 cm)
P= 12,5 cm2
Odpowiedź: Pole tego trapezu prostokątnego jest równe 12,5 cm2.

Zadanie 2.
Oblicz długość wysokości trapezu prostokątnego, którego suma długości podstaw wynosi 10 cm, a pole wynosi 40 cm2.

Rozwiązanie:
P= ½· c· (a+ b)
40 cm2= ½· c· 10 cm
40 cm2= c· 5 cm /:5 cm
c= 8 cm
Odpowiedź: Długość wysokości tego trapezu jest równa 8 cm.