Wzór na pole trójkata prostokątny

Trójkąt prostokątny jest to figura posiadająca trzy boki i trzy kąty. Dwa z boków tego trójkąta tworzą kąt prosty.

Pole trójkąta prostokątnego możemy obliczyć za pomocą wzoru:
P= ½× a× b
gdzie:
a- długość boku przyprostokątnej
b- długość drugiej przyprostokątnej
P- pole trójkąta prostokątnego

Przyprostokątne w trójkącie- są to boki trójkąta prostokątnego które tworzą kąt prosty (90°), więc znajdują się najbliżej tego kąta; na powyższym rysunku są oznaczone literami a i b.

Przeciwprostokątna w trójkącie- jest to bok w trójkącie prostokątnym, który leży najdalej od kąta prostego- nie tworzy go jako jedyny bok w tym trójkącie; na powyższym rysunku jest oznaczony literą c.

Dowód na wzór na pole trójkąta prostokątnego uwzględniający długości jego przyprostokątnych:

Przekątna prostokąta (c) dzieli go na połowy, więc pole trójkąta, który powstał poprzez podzielenie tego czworokąta wzdłuż przekątnej, będzie równe połowie pola tego prostokąta.

Pole prostokąta jest wyznaczane według wzoru P= a× b, z tego wynika, że pole tego trójkąta możemy wyznaczyć wzorem P= a× b× ½ (mnożenie razy ½ jest równoznaczne z dzieleniem przez dwa).

Przykład 1.
Oblicz pole prostokąta o przyprostokątnych o podanych długościach:

a) 11 cm i 15 cm
Podane 11 cm i 15 cm jest w zadaniu przyprostokątnymi- a i b, więc podstawiamy je pod wzór P= ½× a× b.

P= ½× 11 cm × 15 cm= 82,5 cm2

b) 17 cm i 2 dm
Gdy podane przyprostokątne są w innych jednostkach to należy zamienić, na tą samą jednostkę:
2 dm= 20 cm lub 17 cm= 1,7 dm

P= ½× 20 cm× 17 cm= 170 cm2
P= ½× 2 dm× 1,7 dm= 1,7 dm2

Wzorem określającym pole dowolnego trójkąta także można obliczyć pole tego szczególnego-prostokątnego trójkąta.
P= ½× n× h
n-długość dowolnego boku w trójkącie
h-długość wysokości która jest pod kątem prostym do boku o długości n

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym są także wysokościami dla siebie nawzajem.

Przykład 2.
Oblicz pole trójkąta przedstawionego na poniższym rysunku.

Aby obliczyć pole gdy jest podana przeciwprostokątna oraz jedna z przyprostokątnych, należy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej- b.
Gdy znana jest długość dwóch boków w trójkącie prostokątnym, trzeci wyznacza się korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
a2+ b2= c2
a= 3 cm
c= 5 cm
Następnie należy podstawić długości te do wzoru na powyżej wspomniane twierdzenie.
32+ b2= 52
9+ b2= 25 /-9
b2= 25- 9
b2= 16
b= 4 (cm)
lub b= -4 cm, ale ten wynik nie spełnia wymagań zadania- długość odcinka nie może być liczbą ujemną.

Gdy znana jest już długość obu przyprostokątnych możemy obliczyć pole prostokąta ze wzoru P= a× b× ½.
P= 3 cm× 4 cm× ½
P= 6 cm2

Przykład 3.
Oblicz długość wysokości opadającej na bok c w podanym trójkącie. Wiedząc, że c= 10cm, a pole tego trójkąta jest równe 25cm2.

Pole tej figury można opisać wzorem
P= c× h× ½

Sposób I:
Podane w zadaniu wartości należy podstawić po wzór:
25cm2= 10 cm× h× ½
25cm2= 5 cm× h /: 5 cm
h= 5 cm

Sposób II:
Aby wyznaczyć wysokość trójkąta przekształcamy wzór na jego pole , aby po lewej stronie równania pozostało tylko h.
P= c× h× ½ /× 2
2× P= c× h /: c
2P: c=h
h= 2P: c

h= 2× 25cm2: 10 cm
h= 50 cm2: 10 cm
h= 5 cm