Tożsamości trygonometryczne

1. Czym są tożsamości trygonometryczne?

Są to, najprościej tłumacząc, równości z użyciem funkcji trygonometrycznych, które są prawdziwe dla każdego kąta, należącego do dziedziny danej tożsamości.

2. Podstawowe tożsamości trygonometryczne.

Są ich 4, ewentualnie 5 i to one są najczęściej wykorzystywane przy zadaniach, w których trzeba udowodnić, że dane równanie jest tożsamością trygonometryczną, a więc warto je zapamiętać!

To tzw. „jedynka trygonometryczna„, najbardziej podstawowa tożsamość.
Jest ona określona dla wszystkich kątów (czyli zbioru liczb rzeczywistych).

Tutaj należy pamiętać, że skoro jest w mianowniku, to nie może on wynosić zero. Musimy więc ze zbioru liczb rzeczywistych wyrzucić wszystkie miejsca zerowe tej funkcji.
Dziedziną tej tożsamości będzie więc .

Tutaj jest podobnie – mamy w mianowniku ułamka, a więc po wyrzuceniu ze zbioru jego miejsc zerowych otrzymujemy, że w tej tożsamości .

oraz

Jak wiemy tangens jest odwrotnością funkcji cotangens i odwrotnie. Przy wyznaczaniu dziedziny obu tożsamości musimy więc wyrzucić ze zbioru zarówno miejsca zerowe funkcji sinus jak i cosinus, czyli tym samym funkcji tangens i cotangens. Z tego wychodzi nam, że dziedziną owych tożsamości jest .

To tzw. „mała jedynka trygonometryczna„. (Pamiętajcie, że tutaj między funkcjami jest znak mnożenia, a nie jak w „dużej jedynce” – znak dodawania. Nie mamy tu też kwadratów funkcji).
Jej dziedzina jest identyczna jak w tożsamości powyżej, czyli .

3. Inne tożsamości trygonometryczne potrzebne do zadań.

oraz

Te tożsamości wynikają bezpośrednio z „jedynki trygonometrycznej” i bardzo często można je spotkać w różnych zadaniach z dowodami.

oraz

Te tożsamości, częściej niż w dowodach, wykorzystuje się zazwyczaj do obliczania sprawniej pozostałych funkcji trygonometrycznych, w przypadku gdy mamy podaną tylko jedną.

Na przykład, mając podany , możemy się trudzić, tworzyć układ równań, że oraz ,
z drugiego równania wyliczyć jedną z funkcji, podłożyć pod pierwszą…

…albo możemy skorzystać z powyższej tożsamości i od razu mając wartość funkcji tangens lub cotangens, obliczyć wartość funkcji sinus lub cosinus.

4.Przykładowe typy zadań z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych.

1) Pierwsze z nich to dowody. Należy w nich wskazać, że L=P, czyli lewa strona równa się prawej. Sprawdźmy na przykładzie:



Wyjdźmy najpierw od lewej strony i w liczniku przemnóżmy przez nawias. Zauważamy „małą jedynkę trygonometryczną, która po zamianie uprości nam nieco licznik. Następnie widzimy, że po prawej nie ma ani funkcji ani , to znaczy, że musimy się ich „pozbyć” z lewej strony, zarówno w liczniku jak i mianowniku. Otrzymujemy więc:

L = = = = =

W liczniku sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika, natomiast w mianowniku zamieńmy jedynkę tak, by można ją było dodać do ułamka. Następnie dodajmy ułamki, zamieńmy „jedynki trygonometryczne” w licznikach oraz .

= = = = = = P

Takim sposobem przekształciliśmy lewą stronę równania w prawą. Warto na końcu napisać standardową odpowiedź w stylu:

L=P, zatem powyższa równość jest tożsamością trygonometryczną dla wszystkich .

Teraz musimy jeszcze tylko zrobić założenia i wyliczyć tę dziedzinę.

Ze względu na obecność i musimy wyrzucić ze zbioru liczb rzeczywistych .
Następnie zaprzeczamy oba mianowniki: ≠ 0 i ≠ 0, czyli że

≠ 1
≠ -1 i ≠ 1

≠

≠ 0 i ≠ 0
≠

Po zsumowaniu otrzymujemy, że . I to koniec zadania.

2) Drugi typ zadań polega na obliczeniu podanych wartości funkcji trygonometrycznych, gdy mamy podany tylko jedną oraz ewentualnie ćwiartkę w układzie współrzędnych, w której znajduje się dany kąt . Sprawdźmy przykład:

Wiemy, że oraz , czyli leży w IV ćwiartce. Oznacza to, że < 0, > 0 i < 0. Z tożsamości obliczamy wartość funkcji:

Następnie z tożsamości wyliczamy wartość funkcji .

/

Ze względu na założenie > 0, odrzucamy drugą możliwość, usuwamy wymierność z mianownika i otrzymujemy:

Teraz, aby obliczyć możemy albo skorzystać z „jedynki trygonometrycznej”, albo wzoru .
Przypomnijmy sobie więc pierwszą tożsamość.

/

Odrzucamy drugą możliwość, ze względu na założenie < 0 i usuwamy z mianownika niewymierność.

W taki sposób obliczyliśmy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

3) Ostatni typ zadań polega na umiejętnym przekształceniu równania z funkcjami trygonometrycznymi, aby obliczyć wartość podanego w zadaniu wyrażenia.

Przykładowo, wiemy, że , a do obliczenia mamy wyrażenie .

Zadanie zaczynamy od uproszczenia sobie wyrażenia. Wyciągamy przed nawias oraz zamieniamy wartość z nawiasu na :

Następnie musimy przekształcić równanie, aby wyliczyć wartość wyrażenia powyżej. W tym celu podnieśmy je obustronnie do drugiej potęgi i zredukujmy kwadraty funkcji (zgodnie z „jedynką trygonometryczną”).

/ (…)

Teraz przenieśmy 1 na prawą stronę, wykonajmy odejmowanie i pomnóżmy obustronnie przez .

/

Otrzymaną równość podnieśmy do kwadratu, aby uzyskać szukaną wartość wyrażenia.

/ (…)

I to koniec zadania.

Podsumowując, znajomość przynajmniej podstawowych tożsamości trygonometrycznych jest niezbędna przy zadaniach z użyciem funkcji , , czy . Są one w tablicach maturalnych, jednak warto nauczyć się ich również na pamięć. Nie zapominajcie też w zadaniach z dowodami o wyznaczeniu dziedziny!