Pierwiastek z 10

Pierwiastek z 10
Czym jest pierwiastek z 10?
Najprościej sprawę ujmując można powiedzieć, że jest to wartość funkcji
dla argumentu x=10.
Pewnie niektórzy byliby już w pełni usatysfakcjonowani tą odpowiedzią aczkolwiek w tym opracowaniu zamierzam jak najdokładniej opisać to zjawisko – nie ograniczać się do tak lakonicznej wypowiedzi.
Na początek można określić, że pierwiastek z 10 na pewno nie należy do zbioru liczb wymiernych, ktoś nie obeznany z tematem mógłby się zapytać „ale dlaczego?”. Przeprowadzę dowód, że pierwiastek z 10 nie zawiera się w zbiorze liczb wymiernych co implikuje, że liczba ta zawiera się w zbiorze liczb niewymiernych.
zauważmy, że zarówno 2 jak i 5 są liczbami pierwszymi, pierwiastki z liczb pierwszych są liczbami niewymiernymi, tak samo pierwiastek iloczynu dwóch liczb pierwszych jest liczbą niewymierną co można prosto pokazać:
n jest liczbą pierwszą-> , można to pokazać przeprowadzając dowód nie wprost,
, NWD(x,y)=1,
, (analogicznie dla x) co jest sprzeczne
w sposób analogiczny przeprowadza się dowód odnośnie iloczynu dwóch pierwiastków z liczb pierwszych.
Żeby obliczyć dokładną wartość tej liczby można oczywiście skorzystać z kalkulatora, osoby które nie chcą tak łatwo dostać upragnionego wyniku mogą napisać samemu program przykładowo w C++ który działa jak kalkulator i mieć pewność, że to cudowne urządzenie które kupili w sklepie ich nie okłamało, albo skorzystać z prostej funkcji w pythonie.
Tutaj pojawia się pytanie, a co jeśli będzie burza słoneczna i wszystkie urządzenia oparte na elektronice przestaną działać a ktoś znajdzie się w sytuacji bez wyjście w której spotyka swojego nauczyciela z liceum który pyta się go jaka jest przybliżona wartość tego pierwiastka?
Otóż w takiej sytuacji z pomocą przychodzi z pomocą wzór Tylora który w uproszczeniu wygląda o tak:

gdzie zależnie lub
następnie, żeby określić wartość przybliżenia którego będzie nasz otrzymany wynik korzystamy z danego wzoru
.
Więc korzystając w tym przypadku z tego wzoru będziemy mieli:
natomiast
,
gdzie





Natomiast
co oznacza, że dla tej pochodnej przybliżona wartość nie będzie się różnić o więcej niż 0,001 od faktycznej wartości .

co ciekawe wartość ta różni się jedynie o od wartości którą podaje tradycyjny kalkulator, natomiast jest to zwykły zbieg okoliczności i nie powinno się zakładać, że w podobnych sytuacjach wystąpi podobna zależność.
Mam nadzieję, że informacje które starałem się przekazać są jasne oraz, że nie pozostawiłem żadnych niejasności odnośnie któregokolwiek z zagadnień przeze mnie przedstawionych.