Granica ciągu

1.Ciąg nieskończony
Ciągi w matematyce możemy podzielić na wiele sposobów. Jednym z podziałów jest podział na ciągi skończone i nieskończone.
Wyobraźmy sobie ciąg skończony an = {1,2,3,4,5,6,7}. Ciąg ten jest skończony i możemy jasno określić każdy z jego 7 wyrazów. Problem pojawia się natomiast w przypadku ciągów o nieskończonej liczbie wyrazów. Rozpatrzmy ciąg an = 2n + 3. W tym przypadku można odpowiedzieć na to jaką wartość przyjmie ciąg dla różnych n (zał. ) , i tak:
, ,
rozpatrując inne ciągi takie jak przykładowo: dojdziemy do wniosku, że dla dowolnego ciąg przyjmie jakąś wartość (warto wspomnieć, że nie określamy wartości ciągu dla ). Co jednak w wypadku w którym n = ∞, i tutaj pojawiają się granice ciągów.
2.Nieskończoność1
Zacznijmy od tego, czym tak właściwie jest nieskończoność. Najbardziej intuicyjne podejście do tematu podpowiada, że nieskończoność to pojęcie dotyczące czegoś co nie ma końca, jest nieograniczone. Istnieją 2 rodzaje nieskończoności: aktualna oraz potencjalna. Wbrew możliwym wątpliwościom podział ten jest logiczny i uzasadniony, chociaż niektórzy matematycy (np.Carl Friedrich Gauss), sprzeciwiali się używaniu pojęcia nieskończoności aktualnej (nie jako odrzucając podział). Rozpatrzmy zatem 2 sytuacje. sytuacja nr 1: rysujemy okrąg na płaszczyźnie i zadajemy sobie pytanie „ile ten okrąg ma punktów”. Sytuacja nr 2: wybieramy dowolną liczbą w zbiorze liczb rzeczywistych i zadajemy sobie pytanie, ile istnieje liczb większych od wybranej liczby. w obu sytuacjach odpowiedzią jest „nieskończoność”, jednakże trzeba przyznać, że jest różnica między tymi dwoma nieskończonościami, przecież na okrąg możemy spojrzeć, objąć go cały na raz wzrokiem. Nie zrobimy tego już z liczbami wszystkimi liczbami reczywistymi, zatem:
Nieskończoność potencjalna – sytuacja w której zawsze znajdzie się liczba, która jest większa (bądź mniejsza) od liczby zadanej
Nieskończoność aktualna – sytuacja w której, istnieje nieskończona ilość elementów, należących do podzbioru jakiegoś innego zbior
3.Granice ciągów
Ciągi nieskończone są, jak ich nazwa głosi, nieskończone. Znaczy to, że . Można zatem prowadzić rozważania co się stanie z takim ciągiem. Granica ciągu mówi nam co dzieje się z ciągiem kiedy n będzie dążyć do ∞. Granicę ciągu zapisujemy symbolem , który czytamy limes ciągu an przy n zmierzającym do nieskończoności. Do definicji granicy i jej określenia przejdziemy za chwilę.
Rozpatrzmy ciąg :
,

szybko możemy zauważyć, że ciąg tym wzorem jest ciągiem arytmetycznym rosnącym o różnicy = 2, w związku z czym można zauważyć, że wartość tego ciągu, wraz z n zbliżającym się do ∞ , będzie rosła do ∞. Zatem:
=∞ .
Granice które równe są ∞ lub -∞ nazywamy granicami niewłaściwymi. Natomiast ciągi których granicą jest granica niewłaściwa, to ciągi rozbieżne.
Skoro istnieją ciągi rozbieżne to logicznym byłoby przyjąć, że istnieją też ciągi zbieżne. Jest to prawda. Aby zobaczyć czym jest ciąg zbieżny rozpatrzmy ciąg :

łatwo jest zauważyć, że im większe jest n tym bardziej wartość an zbliża się do 0 znaczy to, że = .
o takim ciągu mówimy, że jest zbieżny do 0. Ważnym jest zaznaczenie, że ciągi zbieżne mogą być zbieżne również do innych wartości, nie tylko do zera. Przykładami ciągów zbieżnych do wartości innych niż zero są:

Jednakże, nie wszystkie ciągi mają granicę, czy to właściwą, czy nie. Dla niektórych ciągów takich jak np. granicy nie da się określić
Ciągi nieskończone mogą być zbieżne, lub rozbieżne. Ciągi zbieżne to takie ciągi które mają granicę g taką, że g = ,
Stałą liczbę nazywamy granicą ciągu (), jeżeli dla każdego dodatniego, dowolnie małego ϵ, istnieje taka liczba N , że wszystkie wartości o wskaźniku spełniają nierówność: <ϵ


rozpatrzmy sytuację taką jak na wykresie. ciąg an (reprezentowany przez punkty A, B, C, D, E…) jest nieskończony, w przypadku , wszystkie wyrazu ciągu dla > należą do przedziału ( ), w tym przypadku rozważony jest dosyć spory, jednak, jeżeli , to niezależnie od tego jakie rozważymy, istnieć będą wyrazu ciągu które będą należeć do przedziału .
4.Twierdzenie o trzech ciągach
Rozważmy 3 ciągi , =,


o tym właśnie mówi twierdzenie o trzech ciągach:
Jeżeli dla większości zachodzi zależność oraz granicą ciągów jest liczba , to wtedy granicą ciągu również jest liczba
dobrze, sformalizujmy teraz nasze twierdzenie:
,
4a.Dowód twierdzenia o trzech ciągach

5.Obliczanie Granic ciągów
Teraz, kiedy wiadomo już: czym jest granica ciągu, oraz na czym polega twierdzenie o 3 ciągach. Rozważmy teraz co pomoże nam obliczyć granice ciągów. Przydatne będą następujące zależności:

1 – podpunkt opracowany na podstawie pracy naukowej „Nieskończoność w matematyce. Zmagania z potrzebnym, acz kłopotliwym pojęciem”, Roman Murawski ,Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Matematyki i Informatyk