Wzór na sumę ciągu arytmetycznego

Ciąg liczbowy ( an) nazywamy arytmetycznym, gdy jest co najmniej trzywyrazowy i powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r- zwanej różnicą ciągu.

Sn-suma „n” początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
S4=a1+a2+a3+a4
*
*
*
Sn=a1+a2+a3+…+an

wzór na sumę „n” wyrazów początkowych ciągu arytmetycznego

wzór może zostać użyty w innej formie, rozpiszmy go:

gdzie
zatem zamiast wpisujemy , otrzymując:

jeżeli wszystko do siebie dodamy, ostatecznie otrzymamy następujący wzór:

przykład 1:
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych.

10+11+12+…+99

pierwszym wyrazem ciągu jest 10, czyli a1=10
n wyraz ciągu to 99, ponieważ kolejna liczba jest już trzycyfrową, zatem an=99

wszystkie wyrazy ciągu: 99-9=90

skoro wszystkich wyrazów ciągu jest 90, będziemy obliczać

jeżeli mamy już wszystkie potrzebne dane, podstawiamy je do wzoru:

odpowiedź: Suma wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest równa 4905.

przykład 2:
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych.

ten przykład jest bardzo podobny do poprzedniego, dlatego aby go rozwiązać posłużymy się tymi samymi krokami

100+101+102+…+999

pierwszym wyrazem tego ciągu jest 100, zatem a1=100
n wyraz ciągu jest równy 999, zatem an=999

wszystkie wyraz ciągu: 999-99=900

skoro wszystkich wyrazów ciągu jest 900, będziemy obliczać

mamy wszystkie potrzebne dane, zatem podstawmy je do wzoru na sumę

odpowiedź: Suma wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych jest równa 494550.

przykład 3:
Oblicz:
-7-4-1+2+5+…+227

tak jak przy rozwiązywaniu poprzednich przykładów, pierwszym krokiem będzie wypisanie wszystkich danych
wyraz, który rozpoczyna ten ciąg to (-7), zatem a1=-7
wyraz, znajdujący się na końcu tego ciągu to 227, zatem an=227
do wzoru, który użyjemy potrzebne będzie również r, które w tym wypadku jest równe 3, r=3

zanim przejdziemy do wzoru na sumę, wykorzystamy znany nam już wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego do obliczenia nieznanego nam jeszcze „n”:

mamy wypisane już wszystkie dane, zatem podstawmy je do wzoru na sumę

zatem:
-7-4-1+2+5+…+227=8690

przykład 4:
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 200, których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1.

Na sam początek wypiszmy kilka kolejnych liczb naturalnych, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1:
1,4,7,10,13,16,… – patrząc na wypisane liczby, możemy stwierdzić, że każda kolejna liczba jest o 2 mniejsza od kolejnych wielokrotności liczby 3, np. 3*2-2=6-2=4 lub 3*3-2=9-2=7 jedna i druga otrzymana liczba została wyżej wypisana, zatem powyższe stwierdzenie jest prawdziwe

Musimy również zauważyć, że liczby naturalne, które są mniejsze od 200 oraz których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1, tworzą skończony ciąg arytmetyczny

r=3, ponieważ każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o 3
a1=1 -ponieważ 1 rozpoczyna ten ciąg
an=199 – ponieważ jest to ostatni wyraz tego ciągu

tak jak w poprzednim przykładzie, na początku użyjemy wzoru na n-ty wyraz ciągu, aby obliczyć potrzebne nam n:

obliczamy podstawiając dane do wzoru

odpowiedź: suma równa jest 6700.

!! zaczynając zadanie wypiszmy wszystkie możliwe dane, które jesteśmy w stanie zauważyć lub bez problemu obliczyć i podstawmy je do wzoru