Okrąg wpisany w trójkącie

Czy okrąg może zostać opisany w trójkącie?
Na samym początku weźmy pod uwagę jakikolwiek trójkąt – wpisany okrąg to największy okrąg w nim zawarty. Wpisany okrąg dotknie każdego z trzech boków trójkąta dokładnie w jednym punkcie. Środek koła wpisanego w trójkąt to środek trójkąta, punkt, w którym spotykają się dwusieczne kąta trójkąta (na rysunku 1 jest to punkt, który został wskazany strzałką).

Rys. 1. Okrąg wpisany w trójkącie – przykład

Okrąg wpisany w trójkąt – konstrukcja
Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt opiera się na konstrukcji trzech dwusiecznych kątów trójkąta. Jest to sposób, aby wyznaczyć środek trójkąta, a tym samym środek okręgu. Promień okręgu zawsze znajduje się na na prostej prostopadłej w stosunku do boku trójkąta i musi przechodzić przez środek okręgu – jest to rzut prostopadły środka okręgu w stosunku do boku trójkąta.
Pamiętaj – w każdy trójkąt można wpisać okrąg. Bez znaczenia są długości jego boków, jego wysokość, itd.

Wzory
Znając długości boków trójkąta bez problemu można obliczyć promień okręgu wpisanego w dany trójkąt.

gdzie:

, co stanowi połowę obwodu trójkąta;
a, b, c, – długości boków danego trójkąta.

Istnieje także inny sposób na obliczenie promienia okręgu wpisanego. Potrzebny do tego będzie promień okręgu opisanego.

gdzie:
R – promień okręgu opisanego.

Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny
Jeśli trójkąt, w którym wpisany został okrąg jest równoboczny (posiada wszystkie boki tej samej długości), to promień okręgu można obliczyć z następującego wzoru:

gdzie:
a – długość boku trójkąta;
h – wysokość trójkąta.

Okrąg Feuerbacha
Matematyka, a co za tym idzie, także geometria, nie znosi wszelakiej nudy i próżni, dlatego też w przypadku nawet na pozór tak prostego zagadnienia daje nam swoiste ciekawostki związane z omawianym tematem. Istnieje okrąg dziewięciu punktów, nazywany też okręgiem Feuerbacha (ten tajemniczy Feuerbach pojawiający się w nazwie okręgu to nikt inny jak twórca tego twierdzenia).
Czym się wyróżnia? Jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć punktów charakterystycznych dla wybranego trójkąta. Celowo użyto słowa „charakterystyczne”, ponieważ nie są to punkty zupełnie przypadkowe, losowo wybrane, nie spełniające żadnych kryteriów doboru. Owymi punktami są środki boków danego trójkąta, spodki trzech wysokości oraz punkty, które dzieloną na połowy trzy różne boki trójkąta, jednocześnie łączące wierzchołki trójkąta z otocentrum (punkt, w którym przecinają się wszystkie wysokości trójkąta; istnieje w każdym trójkącie).
Tym samym – Feuerbach udowodnił, że okrąg dziewięciu punktów jest wewnętrznie styczny do okręgu wpisanego, a także zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych. Sam punkt styczności nosi nazwę punktu Feuerbacha.

Okręg wpisany w trójkąt – przykładowe zastosowanie
Znając długość boku trójkąta równobocznego można bez problemu obliczyć długość okręgu wpisanego w tenże trójkąt. W jaki sposób?

Znamy:
a = 4 cm

Czego szukamy?
r = ?
l = ?

Od czego zacząć?
Znając długość boku zaczynamy od obliczenia promienia okręgu wpisanego (r).


[cm]

W prostu sposób obliczyliśmy jaka jest wartość promienia. I to właśnie ta wartość pomoże nam obliczyć długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.

Wykorzystujemy wzór na długość (l) okręgu i korzystamy z wcześniej obliczonej wartości promienia (r).


[cm]

W ten sposób poznaliśmy długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.