Wzór na pole ostrosłupa

Ostrosłup to figura przestrzenna, która posiada jedną podstawę oraz ściany boczne będące trójkątami. Trójkąty posiadają wspólny wierzchołek. Ostrosłup prawidłowy to taki, który w swojej podstawie posiada figurę foremną, np. kwadrat, sześciokąt foremny, pięciokąt foremny, trójkąt równoboczny. Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa należy dodać pola wszystkich ścian

Pole dowolnego ostrosłupa wyrażamy wzorem: Pc=Pp+Pb

Pp to pole podstawy, które obliczamy za pomocą konkretnego wzoru. np: Pole kwadratu to a2 , gdzie a to długość boku kwadratu
Pb to pole powierzchni bocznej, czyli suma wszystkich ścian bocznych pól ostrosłupa, które również obliczamy za pomocą odpowiedniego wzoru.

Warto pamiętać, że wzór na pole ostrosłupa jest bardzo podobny do wzoru na pole graniastosłupa. Jest to bardzo istotne, aby nie pomylić jednego wzoru z drugim. Pole graniastosłupa obliczamy ze wzoru: Pc= . Wzór na pole powierzchni ostrosłupa różni się tylko tym, że nie mnożymy pola podstawy razy dwa, ponieważ ostrosłup posiada tylko jedną podstawę. Warto dodać jednak, że jednym ze szczególnych ostrosłupów jest czworościan foremny.

Jak możecie zauważyć czworościan foremny zbudowany jest z czterech ścian, które są trójkątami równobocznymi. Jak sama nazwa wskazuje ten ostrosłup posiada 4 takie same ściany, które są trójkątami równobocznymi.
Wyprowadźmy ten wzór: Pc= Pc=

Przykład 1

Pani Alicja chce okleić ostrosłup prawidłowy czworokątny ozdobnym papierem. Oblicz ile potrzeba będzie papieru, aby okleić taki ostrosłup, gdzie krawędź podstawy wynosi 4 cm, a wysokość ściany bocznej 5 cm.

Aby było nam prościej wypiszmy sobie dane:
a= 4 cm
h=5 cm
Pc=Pp+Pb

Podstawą w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym jest kwadrat, a więc pole podstawy wyrazimy wzorem a2
Łatwo teraz możemy obliczyć pole podstawy
Pp=42 cm2 =16 cm2
Teraz brakuje nam tylko pola powierzchni bocznej ostrosłupa. Możemy zauważyć, że ścianami bocznymi podanego ostrosłupa są identyczne trójkąty, więc:
Pb=

Pb= = 40 cm2

Pc=16 cm2+ 40 cm2= 56 cm2

Odpowiedź: Pani Alicja będzie potrzebowała 56 cm2 papieru, aby okleić cały czworościan.

Przykład 2

Ile wynosi powierzchnia piramidy w Luwrze, jeśli wiemy, że jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym, w którego podstawie znajduje się kwadrat o boku 35m, a wysokość tej piramidy jest równa 21,6 m.
Dane:
a=35 m
H= 21,6 m
h=?

Pc=Pp+Pb
Pp= a2
Pp=352 m
Pp= 1225 m2

21,62 + 17,52=h2
466.56 + 306.25=h2
h2=772.81 |
h=
h 27,8

Pb=

Pb=
Pb=1946 m2

Pc=1225 m2 + 1946 m2
Pc=3171 m2

Odpowiedź: Powierzchnia piramidy w Luwrze wynosi 3171 m2

Przykład 3

Igor chce okleić ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź podstawy ma 3 cm, a wysokość ściany bocznej jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Ile potrzebne będzie papieru?

Pc = Pp+Pb

Dane:
a=3 cm
h= cm
h=6 cm

Pp=

Pp=

Pp= = =13,5 cm2

Pb=
Pb=
Pb=54 cm2
Pc=13,5 cm2+54 cm2