Długość odcinka

Odcinek– jest to część prostej zawarta pomiędzy dwoma punktami tej prostej, te punkty także należą do tego odcinka. Sposobami w jaki można oznaczać odcinki, są kropki na prostej lub kreski.

|AB| <--- zapis ten znaczy ,,długość odcinka AB”

|AB|= 5 cm

Długość odcinka w układzie współrzednych:

Długość odcinka jeśli jedna ze współrzednych punktu jest taka sama jest równa wartości bezwzględnej z różnicy :
A=(x, y) B= (x, z)
|AB|= |y- z|

Zadanie 1.
Oblicz obwód kwadratu pokazanego na rysunku poniżej:

Rozwiązanie:
Zaczynamy od odczynia z układu współrzednych punktów A i B. Jest to kwadrat więc wystarczy obliczyć długość jednego boku, a następnie pomnożyć długość tą razy 4:
A= (-3, 3)
B= (4, 3)
Możemy zauważyć, że oba punkty leża na osi y= 3, więc obliczymy długość odcinka zawartego powiedzmy tymi punktami korzystając ze wzoru:
A=(x, y) B= (z, y)
|AB|= |x- z|
|AB|= |-3- 4|
|AB|= |-7|= 7
Obw= 4· 7= 28 (j)
j- jednostek
Odpowiedź: Obwód tego kwadratu wynosi 28 jednostek.

Długość odcinka AB o końcach w punktach A= (x1, y1), zaś B= (x2,y2), oblicza się ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

Wzór został wyprowadzony z Twierdzenia Pitagorasa:

Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Więc aby obliczyć |AB|= c należy użyć Twierdzenia Pitagorasa:
a2+ b2= c2
|AB|2= |CB|2+ |AC|2
, więc:

Zadanie 2.
Oblicz pole i obwód trapezu prostokątnego o wierzchołkach w punktach A=(-5, 6), B= (1, 6), C= (8, -5), D= (-5, -5).

Rozwiązanie:
Oby obliczyć pole trapezu prostokątnego musimy znać długości jego podstaw oraz wysokość- odległość miedzy podstawami trapezu.
Podstawami tego trapezu prostokątnego są odcinki DC i AB, zaś wysokością jest odcinek AD, co jest widoczne na poniższym rysunku. Więc pole tego czworokąta można obliczyć ze wzoru:
P=½· |AD|· (|AB|+ |CD|)

W tym momencie należy obliczyć długości odcinków potrzebne do obliczenia pola.
|AB|= |-5-1|= |-6|= 6
|DC|= |-5-8|= |-13|= 13
|AD|= |6-(-5)|= |11|= 11
Podstawiamy do wyżej ustalonego wzoru na pole trapezu prostokątnego:
P=½· |AD|· (|AB|+ |CD|)
P=½· 11· (6+ 13)
P=½· 209
P= 104,5 (j2)
Zaś aby obliczyć obwód potrzebna jest także długość ostatniego boku- CB. Długość ramienia tego liczymy ze wzoru:


Obwód trapezu prostokątnego jest równy sumie długości jego wszystkich jego boków, więc:
Obw= |AB|+ |BC|+ |CD|+ |AD|
Obw= 6+ 11+ 13+ √170= 30+ √170 (j)
Odpowiedź: Pole tego trapezu prostokątnego wynosi 104,5 (j2), zaś jego obwód jest równy 30+ √170 (j).

Zadanie 3.
Oblicz sumę długości krzywej AD narysowanej na poniższym rysunku, wiedząc że |AB| jest dwa razy dłuższa niż długość odcinka BC, zaś długość odcinka CD jest trzy razy krótsza od długości odcinka BC. Punkt A=(10, 0), zaś B=(4,0).

Rozwiązanie:
Aby obliczyć długość całej krzywej AD należy policzyć długości każdego odcinka, z których się ona składa, to jest:
|AB|
|BC|
|CD|

Punkty A i B mają taką samą współrzędna y= 0, więc długość tego odcinka można obliczyć ze wzoru:
A=(x, y)
B= (z, y)
|AB|= |x- z|
|AB|= |10-4|
|AB|= 6
Długość odcinka BC jest dwa razy mniejsza od długości odcinka AB, więc:
|BC|= 6: 2= 3
Długość odcinka CD jest trzy razy mniejsza od długości odcinka BC, więc:
|CD|= 3: 3= 1
Długość wszystkich odcinków łącznie- długość całej krzywej obliczymy poprzez zsumowanie wszystkich długości odcinków:
|AD|= 1+ 3+ 6= 10
Odpowiedź: Długość tej prostej wynosi 10.