Okrąg opisany na trójkącie równobocznym

Okrąg – zbiór punktów na płaszczyźnie, których odległość od środka okręgu jest równa promieniowi okręgu. Najprościej mówiąc jest to brzeg koła.

Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Jego środek leży na przecięciu symetralnych boków danego trójkąta.

Symetralna odcinka – prosta, przechodząca przez jego środek i prostopadła do niego. W dowolnym trójkącie symetralne boków przecinają się w jednym punkcie.

Okrąg opisany na trójkącie równobocznym
a – boki trójkąta równobocznego
h – wysokość trójkąta równobocznego
O – środek okręgu opisanego na trójkącie
R – promień okręgu opisanego na trójkącie

Wysokość trójkąta równobocznego
Wysokość trójkąta równobocznego (h) możemy obliczyć z następującego wzoru:
Uwaga! Wynika on z twierdzenia Pitagorasa więc nie ma konieczności zapamiętywania go.

Promień okręgu opisanego
Do obliczenia promienia okręgu (R) potrzebujemy wysokości trójkąta równobocznego. Opisuje go wzór:

Długość okręgu opisanego (obwód koła)
Długość okręgu opisanego obliczamy ze wzoru:
( )

Pole trójkąta równobocznego
Pole trójkąta możemy obliczyć na dwa sposoby:
1)
2)

Przykłady
Przykład 1. Obliczmy podane wielkości dla trójkąta równobocznego o boku
a=6 i a=5
Wysokość trójkąta:
podstawiamy dane do wzoru
obliczamy

Promień okręgu:
podstawiamy dane do wzoru
obliczamy

Długość okręgu:
podstawiamy dane do wzoru
obliczamy

Uwaga! Jeżeli zadanie nie wymaga przybliżenia długości okręgu, nie podstawiamy pod jego wartości. Jest to dokładny wynik.

Pole trójkąta:
1)
podstawiamy dane do wzoru
obliczamy

2)
podstawiamy dane do wzoru
obliczamy

Przykład 2. Weźmy pod uwagę odwrotną sytuację. Obliczmy długość boku i wysokość trójkąta oraz promień i długość okręgu jeżeli pole trójkąta jest równe .

Dane:

Szukane:

Długość boku trójkąta obliczymy ze wzoru na pole:

|
|

(lub) drugie rozwiązanie odrzucamy, ponieważ długość boku nie może być liczbą ujemną

Teraz z łatwością możemy już obliczyć pozostałe wielkości: