Środek odcinka

Odcinek– jest to część prostej zawarta pomiędzy dwoma punktami tej prostej, te punkty także należą do tego odcinka. Sposobami w jaki można oznaczać odcinki, są kropki na prostej lub kreski.

Środek odcinka– jest w miejscu na odcinku, gdzie odległość od jednego konca odcinka do punktu jest rowna odległości od drugiego końca odcinka do tego punktu.

S- środek odcinka AB
|AS|= |SB|= ½|AB|= x

Współrzędne środka odcinka (S) o końcach we współrzędnych A= (x1, y1) i B= (x2, y2), liczy się sumując odpowiednie współrzedne i dzieląc na dwa:

Przykład 1.
Oblicz współrzędne środka odcinka-S o końcach we współrzędnych C= (2, 6) D= (12, 8) i długość odcinka SC.

Rozwiązanie:
Wzór na środek odcinka możemy zapisać w ten sposób:
S=(½(x1+ x2), ½(y1+ y2))
Wypisujemy dane, następnie podstawiamy je do powyższego wzoru:
x1= 2
x2= 12
y1= 6
y2= 8
S=(½(2+ 12), ½(6+ 8))
S=(½·14, ½·14)
S=(7, 7)
Aby obliczyć długość odcinka SC należy użyć wzoru:


|SC|=√26

Odpowiedź: Długość odcinka SC jest równa √26, zaś współrzędne punktu S to x=7 i y=7.

Przykład 2.
Punkt S= (4, 7) jest środkiem odcinka AB, gdzie A= (17, 11). Oblicz współrzędne punktu B.

Rozwiązanie:
Aby obliczyć współrzędne punktu B należy zastąpić je niewiadomymi- x i y, więć B= (xB, yB)
S= (½(x1+ x2), ½(y1+ y2))
Wzór ten zawiera dwa niezależne od siebie równania- jedno z x-ami, zaś drugie z y-kami, więc możemy go podzielić na dwa równania:
xs= ½(xA+ xB)
4= ½(17+ xB)
8= 17+ xB
xB= 8- 17
xB= -9
ys= ½(yA+ yB)
7= ½(11+ yB)
14= 11+ yB
yB= 14- 11
yB= 3

Odpowiedź: Współrzędne punktu B są równe x= -9, zaś y= 3.

Przykład 3.
Punkt (1, 1) jest środkiem odcinka o końcach A(x, y) i B(x+ y, x- y). Oblicz współrzędne punktów A i B.

Rozwiązanie:
Wzór na środek odcinka rozbijamy na dwa niezależne od siebie równania i podstawiamy niewiadome:
S= (½(x1+ x2), ½(y1+ y2))
1= ½(x+ x+y) 1=½(y+ x-y)
2= 2x+ y 2= x
2= 2x+ y x= 2
W tym momencie gdzie z jednego równania obliczyliśmy niewiadomą x podstawiamy ją pod równanie z lewej strony, aby obliczyć y:
2= 4+ y
y= -2
Gdy znamy już x i y, należy podstawić liczby te pod równania współrzędnych:
A(x, y) —-> A(2,-2)
B(x+ y, x- y) —–> B(0, 4)