Proporcjonalność prosta

Definicja 1.
Mianem proporcjonalności prostej określamy relację między dwiema zmiennymi, nazwijmy je i , postaci

gdzie jest pewną daną liczbą rzeczywistą różną od . Liczbę tę nieraz nazywa się współczynnikiem proporcjonalności.

Proporcjonalność prosta jest niezwykle często spotykana w fizyce, matematyce, ale przede wszystkim w życiu codziennym. Pokażemy to i wyjaśnimy na konkretnych przykładach.

Przykład 1.
Jeżeli w sklepie 1 jabłko kosztuje 5zł, to ile kosztują 4 jabłka?

Przyjmując – cena jabłek, a – ich ilość, z treści możemy wywnioskować, że

,

czyli . Chcąc obliczyć cenę 4 jabłek, podstawiamy i wyliczamy ,

.

Przykład 2.
Jaś czytał książkę – każdego dnia tyle samo stron. W ciągu tygodnia przeczytał 35 stron, a cała książka zajęła mu łącznie 25 dni. Ile stron miała książka?

Na początku obliczamy współczynnik proporcjonalności,

.

Znając go, możemy z łatwością obliczyć, ile stron Jaś przeczytał w ciągu 25 dni.

Stąd wiemy, że książka miała łącznie 125 stron.

W powyższych przykładach zawsze pytamy o konkretną wartość. Czasami jednak możemy rozważać pewne sytuacje w ogólności.

Przykład 3.
Turysta idzie po drodze ze stałą prędkością 1.42 m/s. Pokazać na wykresie zależność pokonanej drogi od czasu.

Aby móc wyrazić zależność drogi (oznaczamy ją tak jak w fizyce przez s) od czasu (t) zaznaczamy dwa punkty, przez które będzie przechodził wykres. Pierwszym takim punktem jest (0, 0) – jeżeli nie upłynął żaden czas, to nie pokonaliśmy żadnej drogi. Następnym takim punktem jest (1, 1.42), bo turysta w ciągu jednej sekundy pokonał 1.42 metra. Po zaznaczeniu tych punktów prowadzimy przez nie prostą.

W ten sposób wyraziliśmy proporcjonalność prostą – rysując wykres będący prostą.

W sytuacjach, w których pragniemy graficznie zinterpretować zależność proporcjonalną postaci wystarczające jest zawsze zaznaczyć dwa punkty – i .

Przykład 4.
Poniższy wykres przedstawia prognozowane zarobki stacji benzynowej w zależności od sprzedanego paliwa.

Odczytać z wykresu, ile litrów paliwa stacja musi sprzedać, by zarobić 55 zł.

Zaznaczamy odpowiedni punkt na wykresie.

Odczytujemy wartości na osiach: 55 zł zostanie zarobione w momencie sprzedania 10 l paliwa.

Czytelnikowi pozostawiamy poniższe zadania:

Zadanie 1.
W 15 pudełkach – wszystkich tego samego rozmiaru – mieści się łącznie 300 sztuk zapałek. Ile zapałek jest w 1 pudełku?

Zadanie 2.
Prostokąt o jednym boku trzykrotnie dłuższym od drugiego ma obwód równy 24. Jakie długości mają jego boki?

Zadanie 3.
W zlewce znajduje się 30-procentowy roztwór soli. Wiedząc, że masa soli wynosi 60g, obliczyć masę rozpuszczalnika oraz łączną masę całego roztworu.

Zadanie 4.
W słoju znajdują się przyprawy, woda i ogórki przy stosunku mas . Wyznaczyć stosunek mas tych składników do łącznej masy zawartości słoja.

Zadanie 5.
Podatek PIT, czyli podatek od dochodu to pewna ustalona część rocznej pensji, jaką pracownik musi odprowadzić do skarbu państwa. Jeżeli dana osoba w ciągu roku zarobiła 90 000 zł, to w ramach podatku PIT odprowadziła 28 800 zł. Wyznaczyć współczynnik proporcjonalności przychodu do odprowadzanego podatku. Zależność tę przedstawić za pomocą wykresu.

Zadanie 6.
Na wykresie została zaznaczona zależność między drogą przebiegniętą przez sportowca, a czasem.

Po jakim czasie sportowiec przebiegł 1.8 m? Z jaką prędkością biegł?