Jak obliczyć pole rombu

Jak obliczyć pole rombu?

Odkąd pamiętam moja nauczycielka matematyki zawsze nazywała romb „kopniętym kwadratem” i rzeczywiście przypomina nieco pochylony kwadrat. Spróbuję porównać trzy figury geometryczne.

kwadrat
romb

równoległobok

Tak naprawdę romb bardzo przypomina równoległobok tylko ma wszystkie boki równe. Pole figur płaskich oblicza się w jednostkach kwadratowych, np. cm2, m2, km2 itp.. Istnieje kilka sposobów obliczenia pola rombu.

I sposób

Obliczam pole rombu, tak jak pole równoległoboku, czyli ze wzoru ogólnego
P = a h
gdzie a to pole podstawy, a h wysokość rombu
Przykład 1
Oblicz pole rombu, w którym podstawa a wynosi 5 cm, a wysokość h = 8 cm
Dane:
a = 5cm, h = 8cm
Szukane: P rombu
Rozwiązanie:
P = a h
P = 5cm 8cm = 40cm
Odp. Pole rombu wynosi 40 cm 2

Przykład 2
Oblicz pole rombu, w którym podstawa a wynosi 2√3 cm, a wysokość h = 4√3cm
Dane:
a = 2 cm
h = 4 cm
Szukane : P ♦=?
Rozwiązanie:
P = a h
P = 2√3 cm 4√3
P = 2 4 √3 x√ 3 = 8 3 = 24 cm 2
Odp. Pole rombu wynosi 24 cm 2

II sposób
Obliczam pole rombu na podstawie długości jego przekątnych. Każda przekątna rombu dzieli go na dwa jednakowe trójkąty, więc jeśli znam pole jednego z nich i pomnożę ten wynik 2, otrzymam pole całego rombu.
P = 2 P ▲

Przykład 1
Oblicz pole rombu, wiedząc że pole jednego trójkąta wydzielonego przez przekątną wynosi 50 cm 2.
Wzór:
P = 2 P ▲
P = 2 50 cm 2
P = 100 cm2

Odp. Pole rombu wynosi 100 cm2

III sposób
Jeżeli znam długość krótszej przekątnej c i dłuższej przekątnej d, to c jest jednym bokiem trójkąta, a połowa d to wysokość tego trójkąta prostopadła do boku c. Wobec tego pole trójkąta można obliczyć wg wzoru:
P = c d
P= c d
Jeżeli wstawię ten wzór zamiast P trójkąta z II sposobu, to otrzymam wzór szczegółowy na obliczenie pola rombu:
P rombu = 2 c d = c d = c d
P rombu = c d
Wynika stąd, że pole rombu o przekątnych c i d można obliczyć wg wzoru:
P rombu= c
Znak mnożenia można pominąć między literami a i c, wobec tego ostateczny wzór można zapisać:
P ♦=

Przykład 1
Oblicz pole rombu o przekątnych c=8cm, d= 9cm

P rombu=
P rombu =
P rombu = 36 cm2
Odp. Pole rombu wynosi 36 cm2

Przykład 2
Oblicz pole rombu, którego bok wynosi a=5cm, a przekątna c= 6cm.
Z twierdzenia Pitagorasa można obliczyć długość przekątnej d:
2 + 2 = a2
2 + 2 = 52
32 + 2 = 25
= 25 – 9
= 16 I x 4
d2 = 64
d =
d = 8 cm
Z wzoru szczegółowego P rombu= mogę obliczyć pole rombu:
P =
P =
P = 24 cm2
Odp. Pole rombu wynosi 24 cm2

Przykład 3.

Oblicz pole rombu, jeśli masz podany jego bok a = 6 cm i połowę jednej z jego przekątnych = 6
Dane:
a = 6 cm,
= 3 cm /
c = 6 cm
Szukane : d=? P=?
Wzór:
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość przekątnej d:
2 + 2 = a2
(3 )2 + 2 = 62
9 3 + = 36
= 36 – 27
= 9/
d2 = 36
d =
d = 6 cm

Obliczam pole rombu:
P rombu =
P =
P = 18 cm2
Odp. Pole rombu wynosi 18 cm2.

Wnioski:
Jeżeli znam w rombie bok oraz wysokość, to pole obliczam wg wzoru bok x wysokość P = a h
Jeśli znam pole jednego z trójkątów wyznaczonych przez przekątne rombu mnożę ten wynik x 2 i otrzymam pole całego rombu. P = 2 P ▲
Jeśli znam obie przekątne rombu, to pole obliczam wzorem szczegółowym P ♦=
Jeżeli znam długość boku rombu i długość jednej przekątnej, długość drugiej mogę obliczyć z twierdzenia Pitagorasa: a2 + b2 = c2 , a następnie posłużyć się wzorem szczegółowym, aby obliczyć pole rombu.