Rozkład poissona

Rozkład Poissona – definicja

Rozkład Poissona to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa liczby zdarzeń występujących w danym okresie czasu, biorąc pod uwagę średnią liczbę zdarzeń występujących w tym okresie.

Przykład:
Pewna restauracja typu fast-food przyciąga średnio 3 odwiedzających na minutę. To jednak tylko średnia. Rzeczywista liczba może być inna. Rozkład Poissona można wykorzystać do analizy prawdopodobieństwa różnych zdarzeń dotyczących liczby klientów. Umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa braku aktywności (gdy w restauracji jest 0 klientów), a także prawdopodobieństwa gwałtownego wzrostu aktywności (gdy 5 lub więcej klientów jest w restauracji). Te informacje mogą z kolei pomóc kierownikowi zaplanować te wydarzenia z personelem i harmonogramem pracy.

Oprócz wykorzystania do planowania harmonogramu pracy, dystrybucja Poissona ma również zastosowania w biologii (zwłaszcza w wykrywaniu mutacji), finansach, zarządzaniu kryzysowym i wszelkich innych sytuacjach, w których zdarzenia są niezależne od czasu.

Warunki zastosowania
Rozkład Poissona ma zastosowanie tylko wtedy, gdy spełnionych jest kilka warunków.
Warunki:
1. Zdarzenie może wystąpić dowolną liczbę razy w danym okresie.
2. Zdarzenia zachodzą niezależnie. Innymi słowy, wystąpienie zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia innego zdarzenia w tym samym okresie czasu.
3. Częstość występowania jest stała.
4. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest proporcjonalne do długości okresu. Na przykład prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w ciągu 2 godzin powinno być dwukrotnie większe niż w przypadku wystąpienia zdarzenia w ciągu 1 godziny.

Przykład:
Na przykład rozkład Poissona jest odpowiedni do modelowania liczby połączeń telefonicznych, które biuro otrzyma w ciągu godziny południowej, jeśli wie, że w tym okresie średnio 4 połączenia na godzinę.
1. Chociaż średnia to 4 połączenia, teoretycznie mogliby otrzymać dowolną liczbę połączeń w tym okresie.
2. Zdarzenia są faktycznie niezależne, ponieważ nie ma powodu, by oczekiwać, że dzwoniący wpłynie na szanse wywołania innej osoby.
3. Można przyjąć, że częstość występowania jest stała.
4. Rozsądne jest założenie, że (na przykład) prawdopodobieństwo otrzymania telefonu w ciągu pierwszych pół godziny jest takie samo jak prawdopodobieństwo uzyskania telefonu w ciągu ostatnich pół godziny.

Oczywiście ta sytuacja nie jest absolutnie idealna teoretycznie dla rozkładu Poissona. Na przykład biuro z pewnością nie może odbierać bilionów telefonów w tym okresie, ponieważ żyje mniej niż bilion osób, które wykonują telefony. Praktycznie rzecz biorąc, sytuacja jest na tyle bliska, że ​​rozkład Poissona dobrze modeluje daną sytuację.

Prawdopodobieństwo z rozkładem Poissona
Biorąc pod uwagę, że sytuacja jest zgodna z rozkładem Poissona, istnieje wzór, który pozwala obliczyć prawdopodobieństwo zaobserwowania k zdarzeń w okresie czasu dla dowolnej nieujemnej wartości całkowitej k.
Niech X będzie dyskretną zmienną losową, która reprezentuje liczbę zdarzeń zaobserwowanych w danym okresie czasu.Niech λ będzie wartością oczekiwaną (średnią) X. Jeśli X jest zgodne z rozkładem Poissona, to prawdopodobieństwo zaobserwowania k zdarzeń w okresie czasu wynosi:

gdzie:
e – liczba Eulera

Przykład:
Na mundialu w każdym meczu pada średnio 2,5 gola. Modelując tę sytuację za pomocą rozkładu Poissona, jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia k goli w meczu?

W tym przypadku λ=2,5.
Powyższy wzór ma bezpośrednie zastosowanie:

Wykres 1 Rozkład Poissona przy λ=2,5

Nie ma górnej granicy wartości k dla tego wzoru, chociaż prawdopodobieństwo szybko zbliża się do 0 wraz ze wzrostem k.