Alef zero

Aby mówić o alefie zero należy wprowadzić pojęcie mocy (liczności) zbioru.

Def. Mocą zbioru nazywamy taką liczbę naturalną , która jest liczbą elementów zbioru i oznaczamy , .
Przykład.
,
,

Niech będzie zbiorem liczb naturalnych. Wtedy (alef zero).

Alef zero jest licznością zbioru liczb naturalnych. Alef zero jest najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną. Można udowodnić, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny, czyli ma taką samą moc, jak zbiór liczb całkowitych oraz jest równoliczny do zbioru liczb wymiernych. Dokonuje się tego poprzez przyporządkowanie elementów jednego zbioru do elementów drugiego zbioru.

Działania na liczbach nieskończonych są nieintuicyjne i należy dokładnie im się przyjrzeć.
,
, ale jest różny od zera

,

Przy okazji omawiania alef zero można wspomnieć jeszcze o continuum, oznaczanym symbolem .

Jest to liczba kardynalna, wyrażająca liczność zbioru liczb rzeczywistych i liczność zbioru liczb zespolonych.

Continuum z alefem zero powiązane jest w następujący sposób: