Równania i nierówności

Równania

Równania to dwa wyrażenia algebraiczne, w których występuje przynajmniej jedna niewiadoma. Każde równanie posiada prawą i lewą stronę, które są oddzielone znakiem równości .

Rodzaje równań

Wyróżniamy równania: oznaczone, czyli takie, które posiadają tylko jedno rozwiązanie, sprzeczne, czyli takie, które w ogóle nie mają rozwiązań oraz tożsamościowe, które mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Równania linowe

Równanie liniowe to równanie, które posiada tylko jedna niewiadomą występującą w pierwszej potędze. Na przykład:

Równania liniowe rozwiązujemy w następujący sposób:

Przykład pierwszy:

Krok pierwszy: upraszczamy równanie.

Krok drugi: niewiadoma powinna znaleźć się po lewej stronie równania, a liczby po prawej stronie. Liczby przenosimy za pomocą wykonania obustronnych działań, czyli:

| (obustronnie odejmujemy , ponieważ wcześniej przed stał plus)
| (odejmujemy obustronnie , aby przenieść to wyrażenie na lewą stronę)
(dzielimy obustronnie przez )
| (dzielimy obustronnie przez -1)

Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie, w którym występuje przynajmniej jedna niewiadoma podniesiona do kwadratu (czyli do potęgi drugiej).

Wzór ogólny równania kwadratowego: , gdzie a, b i c to współczynniki liczbowe.

Równania kwadratowe dzielimy na oznaczone i nieoznaczone. Oznaczone to takie, które przyjmują postać , natomiast nieoznaczone to takie, których współczynnik b i/lub współczynnik c wynoszą zero.

Równania kwadratowe rozwiązujemy w następujący sposób:

Przykład drugi:

Krok pierwszy: upraszczamy równanie.

| -4x (przenosimy wszystko na lewą stronę)
| +40
(pamiętaj, że rozwiązując równanie kwadratowe po jednej stronie powinny stać wszystkie liczby, a po drugiej 0)

Krok drugi: obliczanie delty. Deltę liczymy ze wzoru:

W naszym równaniu: a=1, b=-14, c=40

Jeśli delta jest większa od zera równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
Jeśli delta jest równa zero równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.
Jeśli delta jest mniejsza od zera równanie nie ma rozwiązań.

Nasza delta wynosi 36, zatem równanie ma dwa rozwiązania.

Krok trzeci: liczymy oraz ze wzorów:

oraz

lub

Równania wykładnicze

Równania wykładnicze to takie, w których niewiadoma x występuje tylko w wykładniku potęgi, na przykład .

Przykład trzeci:

Krok pierwszy: jeśli podstawy potęg po obu stronach równania są takie same możemy przyrównać:

Nierówności

Nierówność różni się od równania tym, że zamiast znaku równości (=) ma znak nierówności (<,>).

Oznaczenia:

na przykład:

oznacza, że x jest mniejszy lub równy zero.
oznacza, że x jest większy lub równy zero.
< 0 oznacza, że x jest mniejszy od zera.
x > 0 oznacza, że x jest większy od zera.

Jak rozwiązywać nierówności?

Nierówności liniowe rozwiązujemy w taki sam sposób jak równości, tylko zamiast = piszemy > lub <. Nierówności kwadratowe również rozwiązujemy za pomocą delty, a następnie odpowiednich wzorów na x, jednak na koniec należy wykona.c jeszcze rysunek.

Przykład czwarty:

lub

Sporządzamy rysunek:

Krok pierwszy: rysujemy oś X.
Krok drugi: zaznaczamy a niej i
Krok trzeci: rysujemy parabolę (jej ramiona będą skierowane w dół jeśli współczynnik a jest mniejszy od zera lub w górę, jeśli współczynnik a jest większy od zera).
Krok czwarty: Sprawdzamy czy w nierówności x był mniejszy/większy lub równy czy tylko mniejszy/większy (jeśli był mniejszy/większy lub równy, czyli wystąpił znak lub to rysujemy zamalowane kółka na punktach na osi, a jeśli był tylko mniejszy/większy, czyli wystąpił znak < lub > rysujemy niezamalowane kółka).
Krok piąty: określamy dla jakich argumentów x funkcja przyjmuje wartości (w tym przykładzie) większe lub równe zero.
Krok szósty: zapisujemy odpowiedź. Używamy do tego przedziałów: jeśli kółko jest zamalowane to przedział będzie domknięty, a jeśli niezamalowane, przedział będzie otwarty. W tym przypadku przedział będzie obustronnie domknięty.

Odpowiedź: