Wyznaczanie dziedziny funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów należących do wykresu tej funkcji. Oznaczamy ją jako Df.

Mamy dwa sposoby wyznaczania dziedziny:
Odczytywanie z wykresu.
Obliczanie ze wzoru.

Z wykresu

Odczytując z wykresu patrzymy na zbiór argumentów, czyli oś OX.

W przypadku takiego wykresu dziedzinę czytamy patrząc na argumenty, które zaczynają oraz te, które kończą ten wykres. Widzimy -5 oraz 8. Są przy nich zamalowane kropki więc dziedzinę tej funkcji zapiszemy w przedziale domkniętym Df=<-5,8>. Gdyby były przy nich niezamalowane kropki dziedzinę zapisalibyśmy w ten sposób: Df=(-5,8) w przedziale otwartym. W przypadku, gdyby tylko jeden argument miałby niezamalowaną kropkę, przy nim dajemy nawias otwarty, a przy drugim argumencie domknięty.

Dziedzina takiego wykresu jest przedział od minus do plus nieskończoności. Mówimy, że należy do niego zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
Df=R

Patrząc na niebieski wykres widzimy, że nie łączy się on w jedną linię. Dziedzinę takiego wykresu odczytujemy patrząc na poszczególne kawałki, zapisując je w przedziałach oraz wszystkie przedziały jako sumę.
Pierwszy kawałek: <-2,1)
Drugi kawałek: <2,4)
Trzeci kawałek: (4,6>
Df= <-2,1) <2,4) (4,6>

Jeśli dla jakiegoś argumentu przypada i zamalowana i niezamalowana kropka, jak w tym przypadku dla 0, uwzględniamy ten argument w dziedzinie. Jeśli druga kropka przy 0 także byłaby niezamalowana, musielibyśmy zapisać sumę dwóch przedziałów wykluczając z dziedziny 0.
Df= <-2,8>

Istnieje jeszcze jeden przypadek zapisania dziedziny odczytanej z wykresu. Jeśli wykres w ogóle się nie łączy, tylko wykresem są pojedyncze kropki. W takim przypadku dziedzinę zapisujemy w zbiorze np. Df= {2,3,4,5,7}.

Ze wzoru

Tutaj jak będziemy obliczać funkcję, zależy od typu zadania.

Typ 1. Wyrażenie pod pierwiastkiem.

—- W takim przypadku będziemy używać znaku , zapisując, że całe wyrażeniem pod pierwiastkiem jest większe bądź
równe 0.
2x-14 0 ——- Rozwiązujemy nierówność. Pomijamy pierwiastek.
2x 14/:2
x 7
Df=<7, +nieskończoności ) —– po rozwiązaniu nierówności, dziedzinę zapisujemy w przedziale.

Przykład:

x+2 0
x -2
Df=<-2, +nieskończoności)

Typ 2. Ułamek.

—— Musimy rozwiązać dwie nierówności, Jedna się tyczy licznika, a druga mianowania ułamka. Wiemy, że w ułamku mianownik nie może być 0, dlatego działanie zapisujemy ze znakiem . W liczniku mamy pierwiastek więc zapisujemy ze znakiem .
2-x 0 4-x20
2 x 4x2/
2x -2x ———– Po zapisaniu obu wyników zaznaczmy je sobie na osi. W każdym przypadku, jeśli liczymy dziedzinę i musimy
rozwiązać więcej niż 1 nierówność, zaznaczamy sobie wyniki na osi. Dopiero wtedy wyznaczamy dziedzinę.
————–o———o
———--2——-2——————>
Df=(-nieskończoności,-2)(-2, 2)

——— Jeśli mamy odwrotną sytuację gdzie pierwiastek występuję na dole, zajmujemy się tylko nim. Obliczamy ze znakiem >.

x+5>0
x>-5
Df= (-5, +nieskończoności)