Rozwiązywanie układów równań

Układ równań- jest to połączenie przynajmniej dwóch równań ze sobą za pomocą klamerki, są one rozpatrywane jednocześnie, opisuje on związek między dwiema niewiadomymi. Rozwiązaniem układu równań z dwoma niewiadomymi jest para liczb spełniająca oba równania. Ilość równań i niewiadomych jest zależna od siebie.

Przykłady układów równań:

Napisany na niebiesko przykład ma jedną parę rozwiązań, zaś żółty układ równań jako rozwiązanie ma jedną trójkę rozwiązań. Liczba niewiadomych jest równa liczbie równań w układzie.

Powyższe układy zaliczamy do układów oznaczonych, ponieważ ich rozwiązanie jest tylko jedno- stanowi je para liczb (przy trzech równaniach jest to trójka liczb, itd.)

Innym rodzajem układu jest układ nieoznaczony ma on nieskończenie wiele rozwiązań.

równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo każda para x i y których suma jest równa 2 może być rozwiązaniem równania (np. x= 0, y= 2; x= 1, y= 1; x= 0,5 y=1,5).

Układ sprzeczny zaś nie ma ani jednego rozwiązania.

x+ y nie może być równe 7 i 8 jednocześnie, więc układ ten jest sprzeczny.

Jak rozwiązać układ równań?
Istnieją trzy metody rozwiązywania układów równań:

1) metoda podstawiania– polega ona na wyznaczeniu z jednego równania niewiadomej, a następnie podstawieniu do pierwszego równania tej niewiadomej. Przykład:

wyznaczamy niewiadomą x:

podstawiamy 5+ 3y w pierwsze równanie w miejsce x:

w tym momencie w pierwszym równaniu zostaje tylko jedna niewiadoma- y; wyznaczamy y z pierwszego równania- na razie pomijamy drugie równanie:

Do równania drugiego- x= 5+ 3y podstawiamy y= -1:




otrzymana para liczb jest rozwiązaniem tego równania.

2) metoda przeciwnych współczynników- rozwiązując układ tą metodą chcemy doprowadzić go do postaci, aby przy którejś z niewiadomych były liczby przeciwne.
Mnożymy ,,na krzyż” równania, doprowadzając je do przeciwnych znaków przy niewiadomej x (gdy znamy najmniejsza :

W tym momencie sumujemy oba równania (możemy także obliczyć ich różnice jeśli nie pomnożyliśmy razy -1)

Otrzymaną niewiadomą y podstawiamy pod równanie początkowe (obojętnie które):

3) metoda graficzna– polega na narysowaniu obu równań jako prostych i układzie współrzędnych. Przykład:

równania przekształcamy aby były w formie y=ax+b (bo są to funkcje liniowe):

traktujemy równania te jak funkcję liniową- rysujemy je na układzie współrzędnych, rozwiązaniem tego układu będą współrzędne punktu wspólnego:

Współrzędne punktu A=(2, 3) są rozwiązaniem tego równania: