Nww

NWW

NWW jest to skrót od wyrażenia Najmniejsza Wspólna Wielokrotność. Dotyczy ona jedynie liczb naturalnych i jest najmniejszą liczbą różną od zera, będącą jednocześnie ich wspólną wielokrotnością.

W jaki sposób oblicza się Największą Wspólną Wielokrotność?
Zatem dla objaśnienia metod rozwiązywania zadań dotyczących Największej Wspólnej Wielokrotności, posłużę się prostymi przykładami, tak aby w jasny sposób mogły być one zrozumiane.

Metoda 1 (najmniej zalecany sposób, ponieważ jest bardzo czasochłonny, lecz prosty, dlatego dość często używany przez wiele osób)

Zadanie 1

Możemy rozwiązać to zadanie za pomocą wymienianiu wielokrotności obu liczb, aż do momentu gdy nie dojdziemy do ich wspólnej wielokrotności.

a) Wyznacz NWW liczb 32 16

Wielokrotności liczby 16:
16, 32, 48, 64,…

Wielokrotności liczby 32
32, 64,…

Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb 16 i 32 jest liczba 32

Zapisujemy to następująco:
NWW(16, 32)=32

b) Wyznacz NWW liczb 10 15

Wielokrotności liczby 10
10, 20, 30, 40,…

Wielokrotności liczby 15
15, 30, 45,…

Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb 10 i 15 jest liczba 30

Zapisujemy to następująco:
NWW(15, 10)=30

c) Wyznacz NWW liczb 20 i 30

Wielokrotności liczby 20
20, 40, 60, 80,…

Wielokrotności liczby 30
30, 60, 90,…

Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb 20 i 30 jest liczba 60

Zapisujemy to następująco:
NWW(20, 30)=60

d) Wyznacz NWW liczb 6 i 15

Wielokrotności liczby 15
15, 30, 45, 60,…

Wielokrotności liczby 6
6, 12, 18, 24, 30, 36,…

Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb 15 i 6 jest liczba 30

Zapisujemy to następująco:
NWW(15, 6)=30

e) Wyznacz NWW liczb 40 i 55

Wielokrotności liczby 40
40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440,…

Wielokrotności liczby 55
55, 110, 165, 220, 275, 330, 385, 440,…

Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb 40 i 55 jest liczba 440

Zapisujemy to następująco:
NWW(40, 55)=440

f) Wyznacz NWW liczb 16 i 7

Wielokrotności liczby 16
16, 32, 48, 64, 80, 96, 112,…

Wielokrotności liczby 7
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112,…

Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb 7 i 16 jest liczba 112

Zapisujemy to następująco:
NWW(7, 16)=112

g) Wyznacz NWW liczb 20 i 19
Wielokrotności liczby 20
20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380,…

Wielokrotności liczby 19
19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285, 304, 323, 342, 361, 380,…

Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb 19 i 20 jest liczba 380

Zapisujemy to następująco:
NWW(20, 19)=380

h) Wyznacz NWW liczb 14 i 9

Wielokrotności liczby 9
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126,…

Wielokrotności liczby 14
14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126,…

Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb 9 i 14 jest liczba 126

Zapisujemy to następująco:
NWW(14, 9)=126

Metoda 2:

Algorytm wyznaczania NWW

Metoda ta polega na tym, że wszystkie liczby dla których chcemy obliczyć NWW rozkładamy na czynniki pierwsze. Co to oznacza? Oznacza to, że liczbę zapisujemy w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Zadanie 3

Ponownie skorzystamy z przykładów z zadania 1 i porównamy uzyskane wyniki oraz obszerność zapisu rozwiązania.

UWAGA!

Podczas rozkładania liczb na czynniki pierwsze, powinniśmy zacząć od najmniejszych liczb.

a) Wyznacz NWW liczb 32 i 16

Rozkładamy liczbę 32 na czynniki pierwsze:

32=2×2×2×2×2

Rozkładamy liczbę 16 na czynniki pierwsze:

16=2×2×2×2
Można zauważyć że w obu rozkładach znajdują się cztery dwójki. Wykreślamy je z jednego z rozkładów, a resztę liczb wymnażamy przez siebie uzyskując NWW(Liczby zaznaczone na czerwono, są to liczby które zostaną wykreślone).

NWW(16, 32)=2×2×2×2×2=32

Wynik z zadania 1:
32

32=32

Wyniki z obu zadań są identyczne.

b) Wyznacz NWW liczb 10 i 15
Rozkładamy liczbę 10 na czynniki pierwsze:
10=5×2

Rozkładamy liczbę 15 na czynniki pierwsze:
15=3×5

W obu rozkładach pojawia się piątka, więc wykreślamy ją z jednego z rozkładów, a resztę liczb wymnażamy przez siebie uzyskując NWW.

NWW(10, 15)=5×2×3=30

Wynik z zadania 1:
30

30=30

Wyniki z obu zadań są identyczne.

c) Wyznacz NWW liczb 20 i 30

Rozkładamy liczbę 20 na czynniki pierwsze:
20=2×2×5

Rozkładamy liczbę 30 na czynniki pierwsze:
30=2×3×5

W obu rozkładach pojawiają się dwójka piątka, więc wykreślamy je z jednego z rozkładów, a resztę liczb wymnażamy przez siebie uzyskując NWW.

NWW(20, 30)=3×2×2×5=60

Wynik z zadania 1:
60

60=60

Wyniki z obu zadań są identyczne.

d) Wyznacz NWW liczb 6 i 15

Rozkładamy liczbę 15 na czynniki pierwsze:
15=3×5

Rozkładamy liczbe 6 na czynniki pierwsze:
6=2×3

W obu rozkładach pojawia się trójka, więc wykreślamy ją z jednego z rozkładów, a resztę liczb wymnażamy przez siebie uzyskując NWW.

NWW(6, 15)=2×3×5=30

Wynik z 1 zadania:
30

30=30

Wyniki z obu zadań są identyczne.

e) Wyznacz NWW liczb 40 i 55

Rozkładamy liczbę 40 na czynniki pierwsze:
40=2×2×2×5

Rozkładamy liczbę 55 na czynniki pierwsze:
55=5×11

W obu rozkładach pojawia się piątka, więc wykreślamy ją z jednego z rozkładów, a resztę liczb wymnażamy przez siebie uzyskując NWW.

NWW(40, 55)=11×2×2×2×5=440

Wynik z zadania 1:
440

440=440

Wyniki z obu zadań są identyczne.

f) Wyznacz NWW liczb 16 i 7

Rozkładamy liczbę 16 na czynniki pierwsze
16=2×2×2×2

Rozkładamy liczbę 7 na czynniki pierwsze
7=7×1

W obu rozkładach nie mamy żadnych wspólnych liczb, więc wymnażamy wszystkie liczby i uzyskujemy NWW.

NWW(16, 7) =7×1×2×2×2×2=112

Wynik z zadania 1:
112

112=112

Wyniki z obu zadań są identyczne.

g) Wyznacz NWW liczb 20 i 19

Rozkładamy liczbę 20 na czynniki pierwsze:
20=2×2×5

Rozkładamy liczbę 19 na czynniki pierwsze:
19=19×1

W obu rozkładach nie mamy żadnych wspólnych liczb, więc wymnażamy wszystkie liczby i uzyskujemy NWW.

NWW(20, 19)=19×1×2×2×5=380

Wynik z zadania 1:
380

380=380

Wyniki z obu zadań są identyczne.

h) Wyznacz NWW liczb 14 i 9

Rozkładamy liczbę 14 na czynniki pierwsze:
14=2×7

Rozkładamy liczbę 9 na czynniki pierwsze:
9=3×3

W obu rozkładach nie mamy żadnych wspólnych liczb, więc wymnażamy wszystkie liczby i uzyskujemy NWW.

NWW(14, 9)=3×3×2×7=126

Wynik z zadania 1:
126

126=126

Wyniki z obu zadań są identyczne.
Jak widać, przy dwóch większych liczbach bardziej korzystnym dla nas będzie skorzystanie z metody 3 która została pokazana w zadaniu 3.

Chciałbym również wspomnieć o często spotykanym błędzie jakim jest mylenie NWW i NWD. NWW jest to Najmniejsza Wspólna Wielokrotność, a NWD jest to Najmniejszy Wspólny dzielnik. Dlatego też przestrzegam przez myleniem tych obu zagadnień, ponieważ bardzo dużo osób popełnia ten błąd.

Jest jeszcze jedna metoda Wyznaczania NWW która wykorzystuje związek między NWD I NWW i wygląda ona następująco:

NWW(m, n)=(m×n):NWD(m, n)

Lecz zanim skorzystamy z tego wzoru, musimy się dowiedzieć w jaki sposób wyznaczyć NWD.

Również wtedy należy rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, a później czynniki które się powtarzają w obu rozkładach pomnożyć.

Dla przykładu podpunkt c) z zadania 1:

Wyznacz NWW liczb 20 i 30

Rozkładamy liczbę 20 na czynniki pierwsze:

20=2×2×5

Rozkładamy liczbę 30 na czynniki pierwsze:

30=2×3×5

Na czerwono zaznaczyłem czynniki powtarzające się, które będziemy ze sobą wymnażać by uzyskać NWD.

NWD(20,30)=2×5=10

Sprawdzamy czy da się podzielić obie liczby przez 10

20:10=2
30:10=3

Jest to możliwe, więc NWD jest poprawnie policzone.
Skoro mamy już obliczone NWD wystarczy podłozyć wszystko pod wzór, dla którego m=20, n=30 i uzyskujemy NWW.

NWW(m, n)=(m×n):NWD(m, n)
NWW(20,30)=(20×30):10=60

Wynik z zadania 1:
60

60=60

Wynik z zadania 1 jest identyczny jak ten pokazany tutaj. Oznacza to, że ta metoda również jest poprawna, jednak jest bardzo czasochłonna co wpływa na jej dosyć rzadkie użycie. Jednak chciałem o niej wspomnieć w formie ciekawostki dla tych, którzy mieliby styczność z zadaniem w którym by mieli już podane NWD i wystarczyłoby już tylko dane wprowadzić do wzoru.