Wyrażenia algebraiczne zadania

W tym opracowaniu skupimy się na rozwiązywaniu zadań związanych z wyrażeniami algebraicznymi, aby pomóc Ci lepiej zrozumieć to zagadnienie, ale na początku szybka powtórka.
Czym tak właściwie są wyrażenia algebraiczne? To takie działania, w których znajdziemy liczby, nawiasy, znaki mnożenia, dzielenia, dodawania i odejmowania, ale co najważniejsze- litery!

Przykłady:
1.) 4b
2.) 2x-y
3.) (3x-2)( 5y+4x)
4.) a (3b+c)

Co możemy zrobić z takimi wyrażeniami?

Możemy je uporządkować. Aby to zrobić musimy wiedzieć, czym są wyrazy podobne. Wyrazy podobne to, np. 3x i x, 2 i 3, y2+3y2, czyli takie elementy wyrażenia, które mają taką samą literkę lub są tylko liczbą. Wyrazy podobne, w zależności od znaku działania jaki znajduje się przed nimi, możemy dodawać, odejmować, mnożyć lub dzielić. Wykonanie odpowiednich działań z wszystkimi
Możemy je rozwiązać, podstawiając w miejsce liter wartości podane w zadaniu.

Zadanie 1.
Oblicz wartość wyrażenia 3x+2y dla x= 3 i y=2.

Wyrażenie to możemy zapisać również jako 3•x+2•y. Teraz wystarczy podstawić pod x i y kolejno 3 i 2 . Otrzymujemy 3•3+2•2. Pamiętajmy o kolejności wykonywania działań! Najpierw rozwiązujemy mnożenie i dzielenie, a dopiero na końcu dodajemy otrzymane liczby.
3x+2y= 3•3+2•2= 9+4= 13

Odp. Wartość tego wyrażenia jest równa 13.

Zadanie 2.
Uporządkuj wyrażenie: 2x+3y- (3+2x).

Jeśli przed nawiasem występuje znak minus, to należy pamiętać, że zmienia on liczby z nawiasu na przeciwne, czyli liczba dodatnia będzie ujemna, a liczba ujemna- dodatnia.

2x+3y- (3+2x)= 2x+3y-3-2x

Teraz musimy rozprawić się z wyrazami podobnymi. W tym wyrażeniu wyrazy podobne to 2x i -2x . Pamiętaj, aby przy redukowaniu wyrazów podobnych zwracać uwagę na znak jaki znajduje się przed nimi.

2x-2x daje nam 0, więc zostaje nam:
2x+3y- (3+2x)= 2x+3y-3-2x= 3y-3

3y -3 to już nasze rozwiązanie zadania, ponieważ nie są to wyrazy podobne i łączy je znak odejmowania, więc nic więcej nie możemy z nimi zrobić.

Zadanie 3.
Oblicz wartość wyrażenia 4x2-8+3y(2y+6)-2x2-(3-2y) dla x=2 y= 3

Najprościej będzie, jeśli najpierw uporządkujemy to wyrażenie, a dopiero na końcu podstawimy podane wartości.
Pamiętajmy o kolejności wykonywania działań, a także co robi minus przed nawiasem.
Jeśli mamy taką sytuację: 3y(2y+6) to 3y musimy pomnożyć zarówno przez 2y, jak i 6.

4x2-8+3y(2y+6)-2x2-(3-2y)= 4x2-8+6y2+18y-2x2-3+2y=2x2-11+6y2+20y= 2x2+6y2+20y-11

Porządkując wyrażenie przyjęło się, że najpierw zapisujemy wyrazy, które mają literę do najwyższej potęgi w kolejności alfabetycznej, następnie te, które mają niższą potęgę, a na końcu zwykłe liczby.

Teraz podstawiamy x=2 y= 3:

2x2+6y2+20y-11=2•22+6•32+20•3-11=2•4+6•9+60-11=8+54+60-11= 111

Odp. Wartość tego wyrażenia jest równa 111.

Zadanie 4.
Rozwiąż wyrażenie: (2x-3)(2x+3)

W tym przypadku przydadzą nam się wzory skróconego mnożenia. Przypomnijmy je sobie:
1.) (a+b)2=a2+2ab+b2
2.) (a-b)2= a2-2ab+b2
3.) (a-b)(a+b)= a2-b2

Do tego zadania użyjemy 3 wzoru.
(2x-3)(2x+3)=(2x)2-32=4x2-9
Pamiętaj, że jeśli chcemy podnieść do kwadratu jakiś wyraz wyrażenia, który składa się z liczby i litery, to musimy wziąć go w nawias i dopiero za nawiasem podnieść do potęgi, bo mamy spotęgować cały wyraz, a nie tylko literą.
4x2=4x2 a (4x)2= 16x2

Zadanie 5.
Kasia kupiła 3 maseczki i jedną parę rękawiczek. Zapłaciła 18 zł. Rękawiczki są tańsze od maseczki o 2 zł. Ile kosztuje jedna maseczka, a ile jedna para rękawiczek?

Oznaczmy cenę 1 maseczki jako x
Skoro rękawiczki są tańsze od maseczki o 2 zł to kosztują x-2

Kasia kupiła 3 maseczki, więc mamy 3x

Ułóżmy działanie:
3x+x-2=18
4x-2=18
Teraz musimy oddzielić x na jedną stronę i pojedyncze liczby na drugą. Pamiętajmy, że przenosząc liczbę na drugą stronę ,musimy zmienić jej znak na przeciwny.
4x= 20
Musimy otrzymać samo x, więc dzielimy obustronnie przez 4.
x=5

Cena maseczki= 5 zł
Cena rękawiczek= x-2= 5-2= 3 zł

Odp. Jedna maseczka kosztuje 5zł, a jedna para rękawiczek 3zł.

Zadanie 6.
Suma dwóch liczb jest równa 42. Jedna jest 3 razy większa od drugiej. Jakie to liczby?

Oznaczmy pierwszą liczbę jako x
Druga liczba jest 3 razy większa, więc jest to 3x

Ułóżmy działanie: x+3x=42
4x=42
x=10,5
Pierwsza liczba: x= 10,5
Druga liczba: 3x= 10,5*3=31,5

Sprawdźmy, czy się zgadza: 31,5+10,5=42

Odp. Liczbami tymi są: 10,5 i 31,5.