Przekątna kwadratu wzór

Przekątna kwadratu
Zacznijmy od tego czym jest przekątna. W figurach płaskich, np. kwadracie jest ona odcinkiem łączącym dwa przeciwległe wierzchołki.

Teraz powiedzmy sobie czym jest kwadrat?
Jest to wielokąt o czterech bokach równej długości i czterech kątach prostych, czyli o mierze 90°. Suma jego kątów wewnętrznych wynosi:
4*90° = 360°
Jego przeciwległe boki są równoległe, a boki o wspólnym wierzchołku są prostopadłe.
Jego obwód oblicza się ze wzoru;
L = 4a,

gdzie a jest bokiem tego kwadratu.

Natomiast jego pole oblicza się ze wzoru:
P = a2,
gdzie a jest bokiem tego kwadratu.

Wszystkie kwadraty są podobne, czyli wszystkie ich kąty mają równe długości, a ich boki są proporcjonalne, czyli każdy bok jednej figury jest tyle samo razy większy lub mniejszy od odpowiadającemu mu boku drugiej figury.

Przekątne w kwadracie mają dużo własności, których nie posiadają przekątne innych figur.
1.Kwadrat ma 2 przekątne.
2.Wszystkie przekątne kwadratu są równej długości.
3.Przecinają się one w połowie swoich długości i pod kątem prostym.
4.Punkt ich przecięcia jest środkiem kwadratu.
5.Przekątne kwadratu dzielą jego kąty na dwie równe części, czyli są ich dwusiecznymi.
Wynika z tego, że gdy poprowadzimy w kwadracie jego przekątne, to powstaną nam cztery identyczne trójkąty prostokątne równoramienne, czyli takie, których kąty wynoszą 90°, 45° i 45°.

Warto również zauważyć, że każda przekątna w kwadracie jest jednocześnie jego osią symetrii, czyli dzieli go na dwa takie same trójkąty prostokątne równoramienne, których ramiona to boki kwadratu, a ich podstawa jest jego przekątną. Wiedząc to możemy z twierdzenia Pitagorasa obliczyć długość przekątnej kwadratu znając jego bok:

a2 + b2 = c2, gdzie a i b to boki kwadratu, a c to jego przekątna;
2a2 = d2, wyciągamy pierwiastek;
d = a√2

Wiedząc to możemy obliczyć pole kwadratu znając długość przekątnej:
P = a2, wyciągamy pierwiastek;
√P = a
√P = d : √2, podnosimy do drugiej potęgi;
P = d2 : 2

Znając długość przekątnej możemy też obliczyć obwód kwadratu:
L = 4a, dzielimy przez 4;
L : 4 = a
L : 4 = d : √2, mnożymy przez 4;
L = 4d : √2

przykład 1
Oblicz bok kwadratu, wiedząc że długość jego przekątnej wynosi 6√2.
Rozwiązanie:
d = a√2, dzielimy przez √2;
a = d : √2, podstawiamy dane;
a = 6√2 : √2
a = 6
odp. Bok tego kwadratu wynosi 6.

przykład 2
Oblicz długość przekątnej kwadratu o obwodzie 12 cm.
Rozwiązanie:
4a = 12cm, dzielimy przez 4;
a = 3 cm
d = a√2, podstawiamy dane;
d = 3√2 cm
odp. Długość tej przekątnej wynosi 3√2 cm.

przykład 3
Oblicz pole i obwód kwadratu, którego przekątna wynosi 2.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczmy bok kwadratu:
a = d : √2, podstawiamy dane;
a = 2 : √2
a = √2
Obliczamy obwód:
L = 4a, podstawiamy dane;
L = 4√2
Obliczamy pole:
P = a2, podstawiamy dane;
P = (√2)2
P = 2
odp. Pole tego kwadratu wynosi 2, a jego obwód to 4√2.

przykład 4
Oblicz przekątną kwadratu o polu równym 49 cm2.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy długość boku kwadratu:
a2 = 49 cm2, wyciągamy pierwiastek;
a = √49 cm
a = 7 cm
Obliczmy jego przekątną:
d = a√2, podstawiamy dane;
d = 7√2 cm
odp. Jego przekątna wynosi 7√2 cm.