Opracowanie:
Rozwinięcie laplace’a
Rozwinięcie Laplace’a
Rozwinięcie Laplace’a najczęściej używane jest do obliczenia wyznacznika macierzy wymiaru x lub większych.
Pokażę na przykładzie jak działa ta metoda.
KROK 1. Poprzez operacje na kolumnach doprowadzamy do sytuacji, gdzie będziemy mieć jak najwięcej zer w wierszu. Pokażę to na przykładzie. Niech
|
|
|
|
1
|
2
|
0
|
1
|
-1
|
5
|
1
|
1
|
1
|
1
|
-3
|
2
|
-2
|
6
|
4
|
0
|
Pierwszą kolumnę zostawimy i do drugiej kolumny dodamy pierwszą pomnożoną przez 3, a do trzeciej kolumny dodamy pierwszą pomnożoną przez 2, no i ostatnią kolumnę również zostawimy. Zobaczmy dlaczego wybrałam takie operacje:
|
|
|
1
|
2 + 3 1
|
0 + 2 1
|
1
|
|
=
|
|
1
|
5
|
2
|
1
|
-1
|
5 + 3 (-1)
|
1 + 2 (-1)
|
1
|
-1
|
2
|
-1
|
1
|
1
|
1 + 3 1
|
-3 + 2 1
|
2
|
1
|
4
|
-1
|
2
|
-2
|
6 + 3 (-2)
|
4 + 2 (-2)
|
0
|
-2
|
0
|
0
|
0
|
Jak widzimy w ostatnim wierszu mamy 3 zera, czyli udało nam się doprowadzić do sytuacji, gdzie mamy w tym przykładzie najwięcej możliwych zer w wierszu)
Przechodzimy zatem do następnego kroku.
KROK 2.
Patrzymy na nasz wiersz z największą liczbą zer i sprawdzamy gdzie znajduje się nasze -2. A mianowicie w pierwszej (1) kolumnie i czwartym (4) wierszu, a zatem jest to . Zaznaczamy kolorem lub skreślamy jedną kreską ten wiersz i tę kolumnę. I postępujemy dalej według wzoru.
|
|
|
1
|
5
|
2
|
1
|
-1
|
2
|
-1
|
1
|
1
|
4
|
-1
|
2
|
-2
|
0
|
0
|
0
|
gdzie det(B) jest wyznacznikiem macierzy powstałej po wykreśleniu kolumny i wiersza (u mnie cyfry te zostały w kolorze czarnym, jest to zatem macierz 3 x 3)
KROK 3.
|
|
|
5
|
2
|
1
|
|
|
|
| ||||
2
|
-1
|
1
|
4
|
-1
|
2
|
Zatem ostatecznie
Na początku nie będzie to dla Ciebie łatwa metoda, jednak im więcej przykładów zrobisz tym będziesz lepszy.
Przygotowałam dwa zadania, zachęcam do spróbowania swoich sił.
Zadanie 1
Spróbuj sam wyliczyć tą metodą wyznacznik macierzy
|
|
2
|
3
|
-1
|
0
|
1
|
4
|
1
|
0
|
0
|
2
|
2
|
6
|
-1
|
2
|
3
|
1
|
Zadanie 2*
Oblicz wyznacznik macierzy za pomocą rozwinięcia Laplace’a
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
1
|
2
|
3
|
3
|
3
|
1
|
2
|
3
|
4
|
4
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
