Pole powierzchni całkowitej sześcianu

Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu
P=6a2
Gdzie a oznacza długość krawędzi sześcianu.

Skąd wziął się ten wzór? Najpierw policzmy pole powierzchni jednej ściany. W sześcianie ściany są kwadratami. Zaś wzór na pole kwadratu to a2. Sześcian zawiera 6 jednakowych ścian, więc pole jednej ściany mnożymy przez 6. W ten sposób okazuje się, że wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu to P=6a2.

Przykład 1
Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi o długości 3cm.
P=6a2
P=6*32
P=6*9
P=54 (cm2)
Odp. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu to 54 cm2.
Przykład 2
Długość krawędzi pewnego sześcianu to 15 mm. Ile wynosi jego pole powierzchni całkowitej?
P=6a2
P=6*152
P=6*225
P=1350 (mm2)
Odp. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu to 1350 mm2

Przyjrzyjmy się teraz kilku zadaniom z treścią.

Przykład 3
Jacek chce pomalować sześcienne pudełko czerwoną farbą. Bok pudełka ma długość 5 dm. Czy wystarczy mu puszki farby, której wystarcza na pomalowanie 130 dm2?

P=6a2
P=6*52
P=6*25=150 (dm2)
150dm2>130dm2
Odp. Nie wystarczy mu farby.

Przykład 4
Ile wynosi pole powierzchni całkowitej kostki do gry o boku długości 9mm?
P=6a2
P=6*92
P=6*81
P=486 (mm2)
Odp. Pole powierzchni całkowitej tej kostki wynosi 486 mm2.

A co gdy znamy pole powierzchni, a chcemy policzyć długość krawędzi?

Przykład 5
Ile wynosi długość krawędzi sześcianu o polu powierzchni wynoszącym 96?
Jeśli pole wszystkich sześciu ścian wynosi 96, to pole jednej ściany wynosi 96/6=16. Ściany sześcianu to kwadraty. Pole kwadratu to a2. a2=16
a=4
Odp. Długość krawędzi tego sześcianu to 4.
To zadanie można też rozwiązać, przekształcając wzór na pole sześcianu:
P=6a2
a2=
a=
a= = 4

Czasem długości boków nie są podane w poleceniu…..

Przykład 6
Długość przekątnej boku sześcianu wynosi 6. Ile wynosi jego pole powierzchni całkowitej?
Korzystamy z wzoru na przekątną kwadratu:
d=a
a=
a=

P=6a2
P=6
P=6 18=108
Odp. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu wynosi 108.

Na koniec kilka zadań do samodzielnego poćwiczenia:
Zadanie 1
Jakie jest pole powierzchni całkowitej sześcianu o boku długości 5m?
Zadanie 2
Pole pierwszego sześcianu wynosi 216 cm. Ile wynosi pole sześcianu o krawędzi o długości o 1cm mniejszej od długości krawędzi pierwszego sześcianu?
Zadanie 3
Ola chce pomalować 6 pudełek w kształcie sześcianu o boku długości 9 cm i 2 pudełka w kształcie sześcianu o krawędzi o długości 6 cm. Ile tubek farby musi kupić, jeśli jednej wystarcza na zamalowanie 500cm2?
Zadanie 4
Jakie jest pole sześcianu, jeśli przekątna każdej ze ścian wynosi 9cm?
Zadanie 5
Tomek chciał pomalować sześcienne pudełko zieloną farbą. Zmierzył, że bok ma 5 cm. Przygotował dokładnie tyle farby, ile potrzeba na zamalowanie takiej powierzchni. Okazało się jednak, że źle zmierzył – bok ma długość 6 cm. Nie starczyłoby mu w takim razie farby. Postanowił więc pomalować 5 ścianek. Czy wystarczy mu farby?