Iloczyn kartezjański

Iloczyn kartezjański

W tej notatce dowiesz się, czym jest iloczyn kartezjański. Jest w niej zawarta definicja, przykłady, zadania oraz na końcu jest zawarta ciekawostka, dotycząca zastosowania iloczynu kartezjańskiego w życiu codziennym wielu ludzi!

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B to zbiór wszystkich par uporządkowanych(x; y) takich, że x A i y B oznaczamy A×B.
Wyżej zapisaną definicję można zapisać w następującej postaci: A×B= {(x; y): x A i y B}.

Definicja może wydawać się dosyć skomplikowana, więc najłatwiej to będzie zrozumieć na przykładzie:
A = {1; 2; 3} –> to jest zbiór A, który zawiera trzy elementy
B = {100; 200; 300} –> to jest zbiór B, który zawiera trzy elementy
Możemy zapisać cztery różne iloczyny kartezjańskie: A×B, B×A, A×A oraz B×B.

A×B = {(1; 100), (1; 200), (1; 300), (2; 100), (2; 200), (2; 300), (3; 100), (3; 200), (3; 300)}
B×A = {(100; 1), (100; 2), (100; 3), (200; 1), (200; 2), (200; 3), (300; 1), (300; 2), (300; 3)}
A×A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
B×B = {(100; 100), (100; 200), (100; 300), (200; 100), (200; 200), (200; 300), (300; 100), (300; 200), (300; 300)}

WAŻNA WŁASNOŚĆ ILOCZYNU KARTEZJAŃSKIEGO:
Trzeba pamiętać, że A×B nie jest równe B×A.

Najlepiej można to przedstawić na przykładzie:
A = {a; b}
B = {c; d}
A×B = {(a; c), (a; d), (b; c), (b; d)} –> tutaj zawsze pierwszymi elementami par będą elementy ze zbioru A
B×A = {(c; a), (c; b), (d; a), (d; b)} –> tutaj zawsze pierwszymi elementami par będą elementy ze zbioru B
Jak widać otrzymaliśmy zupełnie dwa różne zbiory par, więc możemy zapisać tę własność w taki sposób: A×B ≠ B×A.

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z UŻYCIEM ILOCZYNU KARTEZJAŃSKIEGO:

Zadanie 1: Wyznacz podany iloczyn kartezjański: A×N gdzie A = {99} a N to zbiór liczb naturalnych.

Z zadania wiemy więc, że:
A = {99}
N = {0; 1; 2; 3; …}

Musimy wyznaczyć następujący iloczyn kartezjański: A×N.
A×N = {(99; 0), (99; 1), (99; 2), (99; 3), …} –> pokazujemy jak będzie wyglądał iloczyn kartezjański, pierwszym elementem będzie jedyny element ze zbioru A, a drugi element zaczyna się od zera i będzie się zwiększał o jeden (liczby naturalne)

Zadanie 2: Wyznacz podany iloczyn kartezjański: Z×A gdzie Z to zbiór liczb całkowitych a A = {0}

Z zadania wiemy więc, że:
Z = {… ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
A = {0}

Musimy wyznaczyć następujący iloczyn kartezjański: Z×A.
Z×A = {… ; (-3; 0), (-2; 0), (-1; 0), (0; 0), (1; 0), (2; 0), (3; 0), …} –> pokazujemy regułę, według której każdy pierwszy element rośnie o jeden, a drugi element zawsze będzie równy zeru.

ZASTOSOWANIE ILOCZYNU KARTEZJAŃSKIEGO:
Iloczyn kartezjański jest wykorzystywany w informatyce w teorii baz danych. Kiedy chcemy coś kupić w Internecie, szukając konkretnej pozycji (wtedy używamy filtrów – ceny, gatunków, marek, kolorów), to bardzo prawdopodobne jest, że masz do czynienia z iloczynem kartezjańskim. Mam nadzieję, że teraz zawsze używając filtrów w sklepach internetowych, będziesz sobie przypominał o iloczynie kartezjańskim!